§ 358. Bäcklundsche Transformation dreifacher pseudosphärischer Systeme. 685 
wo X 1} Y 1} Z x \ X a , Y 2 , Z 2 die Richtungskosinus der Tangenten der 
Parameterlinien und p 2 sind. Aus den allgemeinen Gleichungen (10), 
S. 634, erhalten wir im vorliegenden Falle: 
(16) 
d X, _ 8 to ^ sin a y v 
8Vi~ dV 2 2+ ~W 3 ’ 8q 2 ~ d Ql ‘ 
d(o 
8 Qi 
X 1} 
8X 2 
8q 2 8qì 1 
8Xj B 8 2 _(o_ 
8 Q 3 COS CO 8 Qi 8 Q, 
cos co ~y 8X 2 B 8 2 co 
37 8q 3 sin«8q 2 8q 3 
B 
Xo usw. 
Hiernach finden wir durch Differentiation von (15) und unter Berück 
sichtigung von (14): 
-— ^ X \ = (cos 03 COS 03. — sin <? sin 03 sin co,)X. + 
a rn si n ' x 
-f- (cos CO sin c) 1 + sin <3 sin 03 COS Oj) X 2 + COS Ö sin 03 X 3 , 
= (sin 03 COS 03 ± -f- sin 6 COS CO sin Ü0 1 ) Xi + 
-f- (sin co sin co t — sin Ö COS CO cos co x ) X 2 — cos ö cos CO X 3 , 
8 <Oi v , 7 8^ 
(1') 
COS CO, 8 Qi 
l 8 Xi 
sin 00, 8 Q 2 
8x. 7 . V w, V , 7 VV>i V . 
^ = — Je sin C3i -5—- X, + Je cos co. -5— X 2 + 
8q s 1 8q 3 1 1 8q 3 
p/ÄCOSCO, 8‘ 
' \ COSO) 8Qi 
8 2 CO Äsin 00, 8 2 (o 
+ 
8q 3 1 sin co 8q 2 8q s 
dazu analoge Gleichungen in y t und z v Aus ihnen folgt: 
8Xi 8x t 
8 x t 8 Xi _ 
+ 
8 t»' 
8q 3 , 
8x 1 8Xj Q 
jZj 8qì8q 2 7 
8 Qi 8 q 3 
T . I . 8(0. . k COS CO. 8 S CO . Äsin 
= Je sin 03 cosco t (sin 6 — + 
8q 3 
cos co 8qì8q 3 
8 2 ca 8co) 
sinco 8q 2 8q s 8 q 3 ) 
-sri 8x, 8Xj 
jLj 8 Qi 8q 3 
= — Je cos co sin 
f . 8(Oi Ä COS co, 8 2 (o . Ä sin 00, 8*00 , 8(0} 
8q s cos« 8qi8q s sinco 8q 2 8q s 8q s ) 
Damit die neuen Kurven p 3 Orthogonaltrajektorien der transformierten 
pseudosphärischen Flächen seien, hat und braucht coj nur der weiteren 
Bedingung zu genügen: 
. 800. . Ä COS co. 8 2 (o , Äsinco. 8 2 (0 . 8(0 
(18) smu H *—5 ; 5—~ hö— 
v J 8q s cos co CQi8q s sinco 8q 2 8q 3 0 q 3 
= 0. 
Nehmen wir für den Augenblick an, daß dies möglich sei, so er 
gibt sich aus (17) für das Quadrat des Linienelements des Raumes 
unter Zugrundelegung des transformierten dreifachen Systems unschwer 
der Ausdruck: 
(19) ds\ = dx\ + dy\ + dz\ = cos 2 coidpf + shrco^pi + dpi,