§ 266 Verbiegungen von Flächen constanter mittlerer Krümmung. 475 
wieder eine Lösung von (41) ist, welcher Wert auch der Constanten 
.6 erteilt werden mag. 
Die geometrische Bedeutung dieser Transformation ergiebt sich 
am einfachsten, wenn wir sie statt zu den Flächen mit positivem con 
stantem Krümmnngsmass zu deren Parallelflächen mit constanter mitt 
lerer Krümmung in Beziehung setzen. Transformieren wir nämlich 
das Linienelement (42) mittels der Gleichungen: 
u = u 1 COS 6 v 1 sin Ú, V = sin ö -f- v t COS 6 
und bezeichnen wir mit <0’ 1 die Functionen u l} v 1} in welche &(u, v) 
hierbei übergeht, so ist das transformierte Linienelement 
ds — er 9l ]/du^ -f- dv^, 
da der Gleichung: 
| -f- I = — sinh fl-, cosh fl, 
genügt, nach dem Satze des vorigen Paragraphen das einer Fläche mit 
der constanten mittleren Krümmung -f- 1, deren Krümmungslinien die 
Curven u t = Const., v 1 — Const. sind. Die neue Fläche ist offenbar 
auf die alte abwickelbar. Da ihre Punkte einander durch die Glei 
chungen (44) zugeordnet werden, können wir folgenden Satz aussprechen: 
Jede Fläche constanter mittlerer Krümmung kann ohne 
Änderung dieser Krümmung so verbogen werden, dass die 
neuen Krümmnngslinien die unter einem beliebigen constan 
ten Winkel schneidenden Trajectorien der alten sind. 
Es ist klar, dass bei diesen Verbiegungen, die denen der Minimal 
flächen (§ 194, Kap. XIV) ganz analog sind, die einzelnen Hauptkrüm 
mungsradien nngeändert bleiben. Bonnet, von dem die Entdeckung 
dieser merkwürdigen Verbiegungen herrührt, hat bewiesen, dass es mit 
Ausnahme einer Klasse von W-Flächen, die auf Rotationsflächen ab 
wickelbar sind, keine anderen Flächen giebt, die Verbiegungen unter 
worfen werden können, bei denen die einzelnen Hauptkrümmnngsradien 
nngeändert bleiben *). 
*) Journal de l’Ecole Polytecbnique, 42. Heft.