Kapitel XVIII. 
Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
Krummlinige Coordinaten im Räume. — Der Darboux-Dupin’sche Satz über drei 
fache Orthogonalsjsteme und Folgerungen daraus. — Ausdruck für das Quadrat des 
Linienelements des Raumes: ds 2 — if 2 2 d 3 H s 2 dç s 2 . — Lame’sclie 
Gleichungen für H 1 , H 2 , H s und Bestimmung des zugehörigen dreifachen Ortho 
gonalsystems. — Liouvilles Satz von den conformen Abbildungen des Raumes. — 
Hauptkrümmungsradien der Flächen eines dreifachen Systems. — Krümmung und 
Torsion der Parameterlinien. — Äquidistanzcurven. — Cayley’sche Gleichung. — 
Combescure’sche Transformation. 
§ 267. Krummlinige Coordinaten im Raume. 
Wie wir uns zur Bestimmung der Lage eines Punktes auf einer 
gegebenen Fläche auf dieser zwei Scharen von Curven u, v derart 
gezogen gedacht hatten, dass durch jeden Punkt der Fläche (oder 
eines passenden Stückes der Fläche) bine Curve jeder Schar geht, 
ebenso können wir auch die Lage eines Punktes im Raume mit Hilfe 
dreier einander schneidender Flächen bestimmen, von denen jede inner 
halb einer einfach unendlichen Schar variiert. Wir brauchen uns hierzu 
nur den Raum (oder ein Gebiet desselben) von drei Scharen von oo 1 
Flächen derart durchfurcht zu denken, dass durch jeden Raumpunkt 
eine einzige Fläche jeder der drei Scharen hindurchgeht. Ordnen wir 
dann jede Fläche einer der drei Scharen eindeutig den Werten eines Pa 
rameters p, bez. p 2 , p 3 zu und kennen wir die Werte der Parameter 
der drei Flächen, die sich in einem Raumpunkt P durchkreuzen, 
Pl = Q‘2 ~ Qs ~ 
so ist der Punkt damit bestimmt. Wir nennen a l} a 2 , a s die krumm 
linigen Coordinaten von P und die Flächen der drei Scharen: 
p t == Const., p 2 = Const., p 3 = Const. 
die Parameterflächen. Sind 
(1) Q x (x,y,z) = Q lf Q a {x,y, z) == p a , Q 3 (x, y, z) = p 3