§ 267. Krummlinige Coordinateli im Raume. 
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die Gleichungen der drei Flächenscharen , so erhalten wir durch ihre 
Auflösung nach x 7 y, z (wenigstens in dem betrachteten Raumgebiet 
muss die Auflösung möglich sein): 
(2) x x(jì ì7 q 27 p 3 ) ; y = y^Qu 9z) > % = zißx, 9z) ■ 
Die Gleichungen (1) dienen zur Berechnung der krummlinigen Coor- 
dinaten eines Punktes, wenn seine Cartesischen Coordinateli bekannt 
sind, die Gleichungen (2) im umgekehrten Falle. Es ist klar, dass zur Ein 
führung eines Systems krummliniger Coordinateli nur die Veränderlichen 
x, y, Z gleich drei von einander unabhängigen Functionen dreier neuer 
Veränderlichen q X7 q 27 p 3 gesetzt zu werden brauchen. 
Eine Gleichung zwischen den krummlinigen Coordinateli eines 
Punktes : 
(3) F(q u i> 2 , q 3 ) = 0 
stellt offenbar eine Fläche dar, deren gewöhnliche Gleichung sich er- 
giebt, wenn in (3) für q 27 q 3 ihre Werte (1) in x, y, z eingesetzt 
werden. Zwei Gleichungen von der Form (8) stellen eine Curve dar. 
Übrigens ist es öfters zweckmässig, eine Curve analytisch in der Weise 
zu definieren, dass die krummlinigen Coordinaten q X7 p 27 q 3 eines beweg 
lichen Punktes der Curve gleich drei Functionen eines und desselben 
Parameters t gesetzt werden. Denken wir uns eine Curve in dieser 
o 
Weise definiert und bezeichnen wir ihr Linienelement mit ds, so folgt: 
19 / dx 
ds u — U— 
\d g x 
d 9i + 
dx 7 . dx 
dQ,f 
+ 
+ (P 
dg i + 
IT,+ fl. 
d 9p 
+ 
dQi + 
dzj , dz 
Wg 3 < Ql -1“ d g. 
\ 2 
dQz) • 
Setzen wir 
H 2 — 
•2(S$. 
HJ = 
■20$ ■ 
H 2 
K = 
Xi dx dx 
d e, d g. 2 ’ 
h i3 = 
VI dx dx 
'j dg, dg, ’ 
K 
/ dx\ 2 
VW 7 
dx dx 
dg., dg s 
so erhalten wir: 
(4) ds 1 = H x 2 dQ 2 -}~ H/dQ./ -j- HJdQf -f- 2h x2 dQ x dQ 2 ~f~ 
-j- 2h 13 d() i d(). i -f- 2h 23 dq 2 dQ 3 . 
Wir bezeichnen diesen Ausdruck als das Quadrat des Linienelements 
des Raumes. Dieser Ausdruck ist nichts anderes als die mittels der 
Substitution (2) transformierte quadratische Differentialform: 
dx 2 -(- dy 2 + dz 1 .