§ 268. Darboux-Dnpin’scher Satz. 
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dgi dgi 
dg t dgi 
dgi dQl 
Sqs . dg,. _ dg.J 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
dx ' dy dz 
dg 2 dg 2 
dy dz 
dg 2 @ g% 
dz dx 
Sg 2 dg 2 
dx dy 
Es ist demnach notwendig und hinreichend, dass für die totale Diffe 
rentialgleichung : 
dg i dgi 
dgi dji 
dQl dg 1 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
dg 2 dg 2 
dx -f- 
dg 2 dg 2 
dy + 
dg-, dg 2 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
die Integrabilitätsbedingung: 
(6) 
dgi dgi 
■dQi dgi 
1 
dp 
QD 
\ 
dy dz 
dz dx 
d 
dx dy 
Sg 2 dg 2 
i 
OZ 
dg 2 dg 2 
dy 
Sg 2 dg 2 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
wo sich die beiden anderen Glieder hinter dem Summenzeichen aus 
dem angegebenen durch cyldische Vertauschung von x, y, z ergeben, 
erfüllt sei. 
Addieren wir zur linken Seite von (6) die Summe: 
ÖQi ÖQi 
sri Sy dz 
d_g^ dg 2 
dy dz 
(d Ql ^d% _ dg 2 ^d^QÄ 
\dx dx 2 dx dx*/ 
die identisch gleich Null ist, so geht (6) über in: 
dg x d‘ 2 g 2 , dg x d-g 2 , (Uh d*g 2 
j)x dx 2 ' dy dxdy ' dz dxdz 
_ djh V'Ci dg 2 d 2 g x og. d-g l \ 
dx dx 2 dy dxdy dz dxdz) 
Aus (5) folgt aber durch Differentiation nach x: 
dg x dQi 
Sy dz 
dg. CQo 
1 dy dz 
Sjh 8-Qi . dg., d~g, , Sg. d 2 g x \ _ 
,dx dx 2 ' dy dxdy dz dxdz) 
__ idji d 2 g. 2 , Sqi d 2 g 2 , d(ft jd)g s \ . 
\ dx dx- ‘ dy dxdy ' dz dxdz) 
Also ist die Integrabilitätsbedingung (6*) äquivalent der Gleichung; 
(7) 
dgi 
dg i 
dy 
dz 
dg2 
dg 2 
dy 
dz 
/Sg x c-g 2 , dg L S s g 2 , dg L 
dx 2 ' Sy dxdy ' dz 
S)g 2 \ 
Sx dz) 
= 0.