480 Kap. 18. Allgemeine Sätze über dreifache orthogonale Flächensysteme. 
Diese Gleichung können wir nun folgendermassen geometrisch 
deuten: Wandern wir längs der Schnittcurve zweier Flächen der Scha 
ren ( Pl ), (fi a ): 
Q x {x, y, z) = Q u Qz{%, y, e) = p 2 
und bezeichnen wir mit dem Symbol d die dieser Wanderung ent 
sprechenden Differentiale, so haben wir: 
OQi 0 e, 
djh 8q_1 
dg 1 dçi 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
8q 2 d 
ÖQi 8q 2 
\ Qs d_Q s 
dy dz 
dz dx 
dx dy 
Demnach geht (7) über in; 
d gi 
dx 
8 
dy \cy/ dz 
= 0. 
Bedeuten aber X, Y, Z die Richtungscosinus der Normale der Fläche: 
Q-i (?'■> y> &) Qii 
so ist: 
~y . y. r/ d 8 q 2 , 8 Qi 
Zjl. ■ _Z. • jZj rs * O • Q ^ 
OX cy OZ 
und die vorhergehende Gleichung lautet wegen (5): 
i. sx + 
8Qi v w 1 d Ql , dg_i_ dZ== 0. 
8y 
OZ 
Andrerseits ist identisch: 
|| dX -f || 8 F+ || dZ = 0, 
folglich ist die Integrabilitätsbedingung äquivalent der Proportion: 
Öx : 8y : dz — 6X : dY: dZ. 
Dieselbe besagt nun aber (§ 51, S. 98), dass die Schnittcurve zweier 
Flächen q 17 q.> eine Krümmungslinie für die zweite, also auch für die 
erste Fläche ist. 
Wir haben somit den Satz von Darboux: 
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
zwei zu einander orthogonalen Flächenscharen eine dritte 
zugeordnet werden kann, die zu beiden orthogonal ist, be 
steht darin, dass jede Fläche der ersten und jede Fläche 
der zweiten Schar einander in Krümmungslinien schneiden 
müssen. 
Hierin ist der berühmte ältere Satz von Dupin enthalten: 
In jedem dreifachen Orthogonalsystem ist f die Schnitt 
curve zweier nicht derselben Schar ungehöriger Flächen eine 
Krümmungslinie für beide.