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Anstalten, welche auf die menschliche
tabelle stirbt; aber im Ganzen genommen, werden alle zur betreffen
den Altersklasse gehörigen Personen doch so nach einander vor und
nach dem ihnen zugehörigen mittlern Alter (§. 129) wegsterben,
daß man sich nach den Regeln der Wahrscheinlichkeit, wenn anders
die Sterblichkeitstabelle Zutrauen verdient, an das durchschnittliche
Kapital halten kann. Denn bei einer Leibrentcnastalt kann es nur
auf eine größere Anzahl von Theilnehmern abgesehen sein; was sie
an dem langem Leben des Einen einbüßt, das bringt die kürzere
Lebensdauer des Andern wieder ein, und je größer die Anzahl der
Theilnehmer ist, desto genauer treffen im Durchschnitt die Gesetze
der Sterblichkeit zu.
Bezeichnet, überhaupt, a m die Anzahl der Lebenden von dem
gegebenen Alter einer Person, a m+i , a m+2/ a m+3 u. s. w. beziehlich
die Anzahl der Lebenden von dem um 1, 2, 3 u. s. w. Jahre hö
hen: Alter, und a x die dem höchsten Alter in der Tabelle entspre
chende Anzahl von Lebenden; wird ferner die Leibrente durch r, der
Zinsfuß durch p, und das dem Alter i entsprechende Kapital der
Leibrente durch Ri bezeichnet, so zahlt die Leibrentenkasse nach dem
Iten Jahre ra m+ir nach dem 2ten Jahre ra mv2 , nach dem 3ten
Jahre ra m+3f u. s. w. nach dem wteu Jahre ra xt Die gegenwärti
gen Werthe dieser Beträge sind
V Ü jre 4-1 fürn,-1- 2 ^ ^ m g T & x .
1 4 p' (1 4 ?) 2 ' (1 4?) 3 ' ‘ * * ' (1 4 ?) n>
daher ist
p r s a m +1 I a m + 2 ] a -H3 ! a x
1 “ a m Li + p ^ (i 4 p) 2 t (i + py ^ w (i + pyJ
Das dem Alter ¿ + 1 entsprechende Kapital ist hiernach
r s + 2 I a m~\-3 , a m+. 4
Ri +1 — - 7 - . 4
■o+lL
4
14• ? (l + p) 2 (1 4 ?) 3
4' ♦ ♦ ♦ ♦
d x j ■
(l4iO B -ü
Wird letztere Gleichung durch 14? dividirt und mit
multiplicirt, so ist
^ m i R i i
14?
r a
r L(i
«i + 2 , 11 m 4. 3
\2 4
4
4 ?) 2 r (1 4 ?) 3 ' (14?)
Wird die erste Gleichung mit a m multiplicirt, so ist
4 ....
(14?)'
a Ti . — r s g « + 1 , a m+ 2 i
U + /- + a+rt 2 +
in -v 2 I a m + 3
4 . .
+ i> _r (i+rt 2 ^ a+rt 3T ■
(i+p)*.
