Curven. 
165 
Curven. 
sonders Axe und ihr Durchschnittspunkt 
mit der 0. Scheitelpunkt. 
Die beiden geschlossenen Curven, 
der Kreis und die Ellipse werden durch 
jeden Durchmesser in Zweige geschieden, 
das Oval ist eine geschlossene Linie, die 
nur einen Durchmesser und 2 ganz be 
stimmte Zweige hat. Man gebraucht den 
Ansdruck Zweige vornehmlich von Cur- 
ventheilen, die von einem Scheitel 
punkt aus, nach verschiedenen Rich 
tungen ins Unendliche auslaufen, wie bei 
der Parabel; bisweilen laufen sie durch 
einen Punkt, den Knoten, in welchem 
sie sich durchkreuzen. Hiervon sollen 
die beiden folgenden Sätze Beispiele lie 
fern. 
12. Die Gleichung 
xy 1 + a; 3 — ay 1 = 0 (1) 
gibt eine C. der zweiten Klasse oder eine 
Linie der 3ten Ordnung. 
Für x — 0 wird y = 0; der Anfangspunkt 
der Abscissen ist also zugleich ein Punkt 
der C. 
Entwickelt man y so erhält man 
I / x3 
y = ±l/ 
~ a — x 
Es existiren also für jedes x (mit Aus 
nahme für x = 0) 2 gleich grofse entge 
gengesetzt liegende Ordinaten, die einen 
positiven z. B. über, die anderen nega 
tiven unterhalb der Abscissenlinie. 
Setzt man x negativ, so entsteht 
j = ± i/—?i- 
J y a + x 
Es existiren also für negative Abscis 
sen keine Ordinaten und der Anfangs 
punkt der Abscissen ist der Scheitelpunkt 
der C. 
Es ist y 2 = 
■ + 
a(a—x) 
7' 4’ 
— f" 
a a~ 
= f![ 1+iL 
a 1 a 
: a\a—x) 
~ 2 „3 
+ + Ts + 
Das Quadrat der Ordinate wächst also 
in einem noch höheren Maafse als mit 
dem Cubus der Abscisse und beide Zweige 
der 0. sind gegen die Abscissenlinie 
convex. 
Endlich ist n die Grenze der positiven 
Abscissen und für x — a wird y unend 
lich, folglich diese letzte Ordinate eine 
Asymptote an beiden Zweigen der C. 
Die C. der aufgestellten Gleichung ist 
die Cissoide (z/ooo?, Epheu) des Dio- 
kles und soll nun construirt werden. 
Aus Gl. 1 erhält man 
x 3 = t/ 2 (a — x) 
woraus x : a — x = j/ 2 : x 2 (1) 
Nun hat man, wenn Fig. 521, AFHB 
ein Halbkreis ist, EF die lothrechte Or 
dinate in E; AF, BF Sehnen, nach 
Euklid X, 34: 
AE:BE=AF Z :BF 2 
Nimmt man vom Mittelpunkt C das 
Stück CG = CE, errichtet die Ordinate 
GH, zieht die Sehne AH, welche die Or 
dinate EF in K schneidet, so ist 
Z bah = z.abf 
daher A EAK <x> A FBA 
und AFiBFsr EK : AE 
folglich AE : BE = EK 2 : AE 2 
Fig. 521. 
Setzt man nun den Durchmesser AB = a, 
AE = x so ist BE — a — x, und es ist 
x : a — x — EK 2 : x 2 
folglich ist nach Gl. I, EK die Ordinate 
y für x — AE. 
Nimmt man eine Abscisse AG > \a 
dann ist nach Euklid 
AG:BG=Air-:BH 2 
Verlängert man nun GIi und AE bis zu 
ihrem gemeinschaftlichen Durchschnitts- 
punkt J, 
so ist 
¿JAG = Z ABH 
also 
A JAG co A ABU 
und 
AH : Bll — GJ -.AG 
also 
AG : BG = GJ- : AG* 
oder 
x : a — x — GJ 2 : x 2 
und 
GJ — y für x — AG 
Der obere Zweig der Cissoide für po 
sitive Ordinaten hat ungefähr die Form 
JI)KA, der untere Zweig für die nega 
tiven Ordinaten hat dann die ihr gleiche 
Form ACM. 
13. DieKonchoide (y-ny/r), Muschel 
schale) Muschellinie ist eine Linie der 
4ten Ordnung oder eine L. der 3ten Klasse.