§ 12 D. Kriterien für die Teilbarkeit der systematischen Zahlen. 
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für g gleich zwölf liefern dieselben Kongruenzen Regeln für die Teil 
barkeit durch die (im Zehnersystem geschriebenen) Zahlen 
12, 2, 3, 4, 6; 
144, 8, 9, 16, 18, 24, 36, 48, 72; 
1728, 27, 32, 54, 64, 96, 108, 192, 216, 288, 432, 576, 864 usw. 1 ) 
II. Teilbarkeit durch eine zu g teilerfremde Zahl m. 
Um zunächst statt der yorgelegten Zahl 
-4 — % + a \9 + «a# 2 + ' * * + a n -i9 n ~ 1 + a n9 n 
eine kleinere, ihr (mod m) kongruente Zahl zu erhalten, ist der nächst- 
liegende Gedanke, alle Potenzen yon g durch ihre kleinsten Reste 
(mod m) zu ersetzen. 
Gehört g zum Exponenten t für den Modul m, so lassen, wie 
wir im Abschnitt C dieses Paragraphen gesehen haben, 
9°, 
9\ 
9 2t , • 
. . denselben Rest 
1, 
9\ 
9 t+1 , 
9 U+1 , • 
. . denselben Rest 
7i, 
9*~\ 
9 U ~\ 
9 3t ~\ • 
. . denselben Rest 
7t-1; 
und es ist deshalb für den Modul m 
A = Clo -j- Cli + 0*21 + * • * + • («i + ttt + í + <*2 Í + 1 + •••) + •• • 
+ yt-lipt-l + d2t-l + ®3i-l + • • •) • 
A ist dann und nur dann durch m teilbar, wenn die rechte Seite 
durch m teilbar ist. Bequem und einfach wird die Anwendung dieses 
Kriteriums, wenn t einen kleinen Wert hat. 
Es sei 
1, m — g — 1. 
In diesem Falle ist g = 1 (mod m), also t == 1 und 
A = a 0 + a x + a 2 H h a n _ 1 + a n (mod g — 1). 
Man erhält die Regel: Eine Zahl ist dann und nur dann durch g — 1 
oder einen Teiler von g — 1 teilbar, wenn die Summe der Ziffern, die 
sogenannte „Quersumme“, durch die betreffende Zahl teilbar ist. Bei 
g gleich zehn ist die Regel ein Kriterium für die Teilbarkeit durch 
9 und 3, bei g gleich zwölf eins für die Teilbarkeit durch 11. 
1) Daß im Zwölfersystem für die Teilbarkeit einer Zahl durch eine größere 
Anzahl anderer Zahlen als im Zehnersystem so einfache Kriterien existieren, be 
gründet für das Rechnen einen Vorzug des Zwölfersystems.