i" seht, 
(5) cp (/*) = sey (1), 
und, wenn man f.i sich der Grenze Null nähern läßt, 
cp (0) = 0. 
Wenn man in der Gleichung (1), = y =— 
so erhalt man 
<P {—ft) = <p( 0) — (p (¿0 ~—Lirp (1). 
Die Gleichung (5) wird also auch dann noch gelten, wenn 
darin (.c in —f.t verwandelt wird; mit andern Worten, man 
hat für beliebige positive oder negative Werthe von x 
(6) (p (x) = x<p (1). 
Aus der Formel (6) folgt, daß jede Function cp (x), 
welche zwischen beliebigen Grenzen der Veränderlichen stetig ist 
und der Gleichung (1) Genüge leistet, nothwendig von der Form 
(7) cp (x) ----- ax 
ist, wo a eine konstante Größe bezeichnet. Das Product ax 
ist in der That, zwischen beliebigen Grenzen von x, eine ste 
tige Function dieser Veränderlichen; auch verwandelt die An 
nahme <p (x) = ax die Gleichung (1) in folgende 
a (x-J-y) — ax -f* ay, 
welche offenbar beständig identisch ist. Die Formel (7) bietet 
also eine Auflösung der vorgelegten Aufgabe dar, gleichviel übri 
gens, welchen Werth man der Constanten a gibt. Man nennt 
diese Constante eine willkürliche, weil es freisteht, dieselbe 
willkürlich zu wählen. 
Aufgabe 2. Es soll die Function cp (x) derge 
stalt bestimmt werden, daß sie zwischen zweien be 
liebigen, reellen Grenzen der .Veränderlichen x 
stetig ist, und daß man, für alle reellen Werthe der 
Veränderlichen x und y, 
(2) -> (x4-yPx . P(y) hat. 
Auflösung. Es ist zuvörderst leicht einzusehen, daß 
cp (x), insofern diese Function der Gleichung (1) Genüge lei 
sten soll, nur positive Werthe zulaßt. Wenn man nämlich in 
der Gleichung (2), y==x setzt, so wird man finden 
cp (2x) = [cp (x)] 2 ; 
und wenn man sodann 4x für X substituirt,