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Werthe gewisser Größen zu berechnen. In dem letztem Falle 4 
werden die Werthe der Unbekannten zuletzt durch andere, be 
kannte und bestimmte Größen ausgedrückt, wahrend in dem er 
stem, wie man hier sehen kann, die Ausdrücke willkürliche 
Constanten gestatten. 
§. 2. Es wird eine stetige Function von der Beschaffenheit gesucht, 
daß, wenn man zwei ähnliche Functionen veränderlicher Größen mit 
einander multiplicirt und das Product verdoppelt, das Resultat dem 
jenigen gleich ist, welches man erhalten würde, wenn man die ähn 
lichen Functionen der Summe und der Differenz dieser Veränder 
lichen addirte. 
In jeder der Aufgaben des vorhergehenden Paragraphen 
enthielt die zu entwickelnde Gleichung, neben der unbekannten 
(x), zwei andere ähnliche Functionen, nämlich cp (y) und 
cp (x+y) oder cp (xy). Wir wollen uns gegenwärtig ein 
neues Problem derselben Art vorlegen, kn welchem jedoch die 
Bedingungsglekchung, der die Function cp (x) Genüge leisten 
soll, vier ähnliche Gleichungen enthalt. Dieses Problem ist 
folgendes: 
Aufgabe. Die Function cp (x) soll dergestalt 
bestimmt werden, daß sie zwischen zwei beliebigen 
reellen Grenzen von x stetig ist, und daß für alle 
reellen Werthe der Veränderlichen x und y 
(1) (p (y+x) — (p (y — x) = 2<p (x) .cp (y) 
ist- 
Auflösung. Setzt man in der Gleichung (1) x = 0, 
so erhält man 
cp (0) = 1. 
<p (x) reducirt sich also für den besonderen Werth X — 0 auf 
die Einheit; und da diese Function zwischen beliebigen Grenzen 
stetig sein sott, so ist es einleuchtend, daß sie in der Nahe die 
ses besonderen Werthes von der Einheit wenig verschieden und 
daher positiv sein wird. Wenn demnach a eine sehr kleine Zahl 
bedeutet, so wird man diese Zahl dergestalt wählen können, daß 
die Function cp (x) zwischen den Grenzen