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Lehrsatz 3. Wenn in der Reihe (1) ein jedes 
Glied kleiner als das vorhergehende ist, so ist sie 
convergirénd, wenn die Reihe 
(2) « 0 , 2uj ( 4u 3 , 8u 7 , 16uj s , etc..., 
convergirt; divergirend dagegen, wenn diese Reihe 
divergirt. 
Beweis. Gesetzt, die Reihe (1) convergiré, und ihre 
Summe sei s, so hat man 
u o 
— u o, 
2h 1 
, — 2u 
4u 3 
< 2u 2 
8u 7 
< 2u 4 
etc.. 
mithin die Summe der Glieder der Reihe (2), wie groß deren 
Anzahl immer sein mag, kleiner als 
r-o 4-2u x +2u 2 +2u 3 +2u 4 + etc = 2s — u 0 ; 
folglich ist die Reihe (2) convergirend. 
Gesetzt aber, die Reihe (1) divergiré, so wird die Summe 
einer sehr großen Anzahl von Gliedern jede anzugebende Zahl 
übersteigen, und da 
W 0 = u or 
2"i >«1 -t- «2, 
>u 3 +u 4 +u s +u 6 , 
8u 7 >u 7 +Ug -f*u 9 +u 10 -j-u 11 + u i2 -}-u I3 -t" u i4» 
etc 
so wird die Summe der Größen 
u 0 , 2u t , 
8u,, etc. 
wenn man eine bedeutende Anzahl von Gliedern nimmt, größer 
als jede anzugebende Größe werden. Die Reihe (2) wird also 
divergiren. 
Zusatz. Wenn wan für die Reihe (1) folgendeannimmt, 
(3) 1, 2» ~^T> etc / 
wo (.i eine beliebige Größe bedeutet, so ist die Reihe (2) folgende 
1, 2 1 ~", S 1 ” 1 “, etc.,...