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: man demnach
- -f- etc....
n Theilen der
a beide Theile
man folgende
r) —- etc....
Grenze Null
mmt, welche
— etc.,..
im (also für
etc....;
(.26) — X — — -i- ~
etc.
— 1
+ 1
±-,
— n
etc.
Diese Gleichung gilt also, so lange der Zahlenwerth von x kleiner
als 1 ist, und in diesem Falle convergirt sowohl die Reihe
(27) x, - .
als auch die Reihe (4), die nur dadurch sich von jener unter
scheidet, daß die geraden Glieder das entgegengesetzte Zeichen
haben. Beide Reihen werden aber divergirend, wenn der Zah
lenwerth von x größer als 1 ist, und die Gleichung (26) gilt
daher für diesen Fall nicht.
Setzt man x = 1, so verwandelt sich die Reihe (27) in
die Reihe (3) des dritten Paragraphen, welche convergirt, wie
gezeigt worden ist. Die Gleichung (26) gilt also auch für
diesen Fall, und es ist daher
T + T ~ T + etc
: — 1, so divergirt die Reihe (27)
(28) 1 (2) — 1,
(29) 1
^2 X ^
x + ~2 + "3’ + etc —
Setzt man dagegen x —
und hat keine Summe mehr.
Es verdient noch bemerkt zu werden, daß, wenn man zu
vörderst in (26) x — — 1 setzt und sodann in beiden Thei
len zugleich die Zeichen in die entgegengesetzten verwandelt, man
folgende Gleichung erhalt:
! X—
= +l)
Aufgabe 2. Die Function
A x
(wo A eine beliebige Zahl bezeichnet) in eine nach
den aufsteigenden und ganzen Potenzen von x ge
ordnete Reihe zu entwickeln.
Auflösung. Wenn 1 dieselbe Bedeutung behalt, welche
dieser Buchstabe bei Auflösung der vorigen Aufgabe hatte, so
ist (wie aus der Definition der Logarithmen folgt)
a
woraus denn folgt