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: man demnach 
- -f- etc.... 
n Theilen der 
a beide Theile 
man folgende 
r) —- etc.... 
Grenze Null 
mmt, welche 
— etc.,.. 
im (also für 
etc....; 
(.26) — X — — -i- ~ 
etc. 
— 1 
+ 1 
±-, 
— n 
etc. 
Diese Gleichung gilt also, so lange der Zahlenwerth von x kleiner 
als 1 ist, und in diesem Falle convergirt sowohl die Reihe 
(27) x, - . 
als auch die Reihe (4), die nur dadurch sich von jener unter 
scheidet, daß die geraden Glieder das entgegengesetzte Zeichen 
haben. Beide Reihen werden aber divergirend, wenn der Zah 
lenwerth von x größer als 1 ist, und die Gleichung (26) gilt 
daher für diesen Fall nicht. 
Setzt man x = 1, so verwandelt sich die Reihe (27) in 
die Reihe (3) des dritten Paragraphen, welche convergirt, wie 
gezeigt worden ist. Die Gleichung (26) gilt also auch für 
diesen Fall, und es ist daher 
T + T ~ T + etc 
: — 1, so divergirt die Reihe (27) 
(28) 1 (2) — 1, 
(29) 1 
^2 X ^ 
x + ~2 + "3’ + etc — 
Setzt man dagegen x — 
und hat keine Summe mehr. 
Es verdient noch bemerkt zu werden, daß, wenn man zu 
vörderst in (26) x — — 1 setzt und sodann in beiden Thei 
len zugleich die Zeichen in die entgegengesetzten verwandelt, man 
folgende Gleichung erhalt: 
! X— 
= +l) 
Aufgabe 2. Die Function 
A x 
(wo A eine beliebige Zahl bezeichnet) in eine nach 
den aufsteigenden und ganzen Potenzen von x ge 
ordnete Reihe zu entwickeln. 
Auflösung. Wenn 1 dieselbe Bedeutung behalt, welche 
dieser Buchstabe bei Auflösung der vorigen Aufgabe hatte, so 
ist (wie aus der Definition der Logarithmen folgt) 
a 
woraus denn folgt