heit durch die m te , oder durch die -^-te, oder ^te Potenz eben 
dieses Ausdrucks dividiren. Da die Aufgabe im ersten Falle 
nur eine Auflösung zuläßt, in den beiden letzten Fällen dagegen 
mehrere, so wollen wir die — m te Potenz durch 
(« + £/—i) f 
die beiden andern Potenzen dagegen, so oft wir keinen bestimm 
ten Werth derselben im Sinne haben, durch 
__ _i m 
((« + /? n und ((«+/? |/^I)) n 
bezeichnen. 
Man nennt zwei imaginäre Ausdrücke gepaart *), wenn 
dieselben nur in Ansehung des Zeichens des Eoefsicienten von 
j/_ 1 verschieden sind. Die Summe solcher Ausdrücke, des 
gleichen ihr Product ist stets reell. Die Summe der beiden 
gepaarten imaginären Ausdrücke 
a -f- ß (/—1, a—ß j/— 1, 
ist 2a, ihr Product a 2 ß 2 . Der letzte Theil gegenwärtiger 
Bemerkung führt auf folgenden Satz, welcher sich auf die 
Eigenschaften der Zahlen bezieht. 
Lehrsatz 1. Wenn man zwei ganze Zahlen, wo 
von jede die Summe zweier Quadrate ist, mit ein 
ander multiplicirt, so ist das Product gleichfalls 
die Summe zweier Quadrate. 
Beweis. Es seien 
a 2 + ß 2 , a' 2 + ß' 2 
die beiden erwähnten Zahlen; a 2 , ß 2 , a' 2 , ß' 2 also vollstän 
dige Quadrate, so hat man offenbar die beiden Gleichungen 
(«+/? j/—I) («' + — aa / —ßß' + a'ß) 
(«—ß j/TTi) {a / — ß'ydj) — aa'—ßß' — a'ß) ]/~\.; 
und multiplicirt man die gleichvielsten Theile dieser beiden Glei 
chungen mit einander, so erhält man 
(7) (a 2 +ß 2 ) {a' 2 +ß' 2 ) = {ua'—ßß') 2 + aß'+ a'ß) 2 . 
*) Expressions imaginaires conjuguées.