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Vertauscht man in dieser Gleichung die Buchstaben vf und ß f , 
so findet man 
(8) (c* 2 +/? 2 ) («'*+ ß' 2 ) = a'ß)* + (««'+ ßföS 
Es gibt also zwei verschiedene Arten, das Product zweier 
ganzen Zahlen, von welchen jede die Summe zweier Quadrate 
ist, in zwei Quadrate zu zerlegen. So z. B. erhalt man aus 
(7) und (8) 
(2 2 + 1) (3 2 + 2 2 ) = 4 2 +7 2 ==l a -i-8 a . 
Man ersieht aus diesen Betrachtungen, daß die Anwendung 
der imaginären Ausdrücke nicht allein in der gemeinen Algebra, 
sondern auch in der Theorie der Zahlen von großem Nutzen 
sein kann. 
Oft bezeichnet man einen imaginären Ausdruck durch einen 
einzigen Buchstaben, wovon auch wir in der Folge Gebrauch 
machen werden. 
§. 2. Von den Modulis der imaginären Ausdrücke und von den 
reducirten Ausdrücken *). 
Eine merkwürdige Eigenschaft jedes imaginären Ausdrucks 
a 4- ßi ist die, daß er unter die Form 
Q (cos. 6 -}■ i sin. 6) 
gebracht werden kann, wo q eine positive Größe, und 0 einen 
reellen Bogen bezeichnet. Setzt man nämlich 
(1) tt -j- ßi — Q (cos. 6 -j- i sin. 0), 
oder, was dasselbe ist, 
a — $ cos. 6,, 
ß — Q sin. 0, 
so erhält man 
Ci 2 + ß 2 = Q 2 ( 608. 6 2 -f- sin. (9 2 ) = 
(3) > = /(« 2 +ß 2 ); 
und hat man auf diese Weise den Werth von q bestimmt, so 
*) Nach dem Beispiele von Gauß u. A. wollen wir (der Kürze we 
gen) in diesem und den folgenden Capiteln den imaginären Aus 
druck i/-3 immer durch i bezeichnen.