0 = + 2 k tt 4“ a, 0 = + 2 k ?r— a, 
ö = ±(2k + l)7f+a, 0 = + (2k + l)7r — a 
setzt, wo k eine beliebige ganze Zahl ist. 
Da die Rechnungen mit imaginaren Ausdrücken durch die 
Betrachtung der reducirte» Ausdrücke sehr vereinfacht werden 
können, so .wird es der Mühe werth sein, die vorzüglichsten 
Eigenschaften der letzter» kennen zu lernen. Diese Eigenschaften 
sind in folgenden Lehrsätzen enthalten. 
Lehrsatz 2. Um zwei reducirte Ausdrücke 
C08. 0 + i sin. 0, cos. 0' + i sin. tí' 
mit einander zu multipliciren, darf man nur die 
ihnen entsprechenden Bogen tí und t/ addiren (und 
die Summe derselben statt der einzelnen Bogen in 
die Formel cos. 6 + i sin. 0 einführen. 
beweis. Man hat in der That 
(cos. 6 + i sin, 0) (cos, 6' + i sin. tí') 
— (cos. (0 + 0') + i sin. (0 + (/). 
Zusatz. Setzt man in der vorhergehenden Formel 
tí' = — tí, so findet man, wie man auch wohl erwarten konnte, 
( 6 ) (cos. 6 -{- i sin. tí) (cos. 0— i sin. ())==!. 
Lehrsatz 3. Um mehrere imaginare Ausdrücke, 
z. V. 
COS. 6 -j- i sin. tí, cos. tí' + i sin. tí', 
cos. tí" 4“ i sin. tí", etc 
mit einander lzu multipliciren, darf man nur die 
Summe der Bogen tí, tí', tí", , für 6 in cos. 0-j-isin.0 
fub stituiren. 
Beweis. Man hat in der That 
(cos. tí + i sin. tí) ( cos, tí' + i sin. tí') 
— cos. (6 + tí') + i sin. (tí + tí'), 
(cos. tí 4“ i sin. tí) ( cos. Ö'4-i sin. tí') (eos. 6"4" 1 sin. tí") 
— [cos.(04-0')4-i sin.(0 4“0 r )] [eos, 0"4- i sin. 0"J 
= eos. (0 4- tí' 4- tí") 4- i sin. (0 4- 0' 4- tí"),