(cos. ß' -}- i sin. ß') x = cos. ß + i sin, ß 
Genüge leisten. Um aus dieser Gleichung den Werth von x 
zu erhalten, darf man nur beide Theile derselben mit 
cos. ß' — i sin. ß' 
multkpliciren, so wird sich der Eoefsicient von x auf 1 rcdu- 
ciren (s. Lehrs. 2., Zus. 1.), und man wird erhalten) 
x — (cos. ß -J- i sin. ß) (cos. ß'— i sin. ß') 
— ( cos. ß + i sin. 6) [cos. (—ß) + i sin. (—ö)] 
— cos, (6 — ß') + i sin. (0 — 0'). 
(8) 
Es ist demnach 
cos. ß + i sin. ß 
cos. ö'-j- i sin. ß' 
cos. (0—ß') -s- i sin. (ß—6') 
(9) 
Zusatz. Setzt man in (8), ß = 0, so erhalt man 
1 
COS. 6' + i sin. 6' 
cos 6'— i sin. ß'. 
Lehrsatz 5. Um einen imaginären Ausdruck 
COS. 0 -J- i sin. ß 
auf die inte Potenz zu erheben (wo m eine beliebige 
ganze Zahl ist), darf man nur den Bogen ß mit m 
multipliciren und das Product statt des einfachen 
Bogens in die Formel cos. ß + i sin. ß einführen. 
Beweis. Da die Bogen ß, ß', ß".... in der Formel 
(?) ganz beliebig sind, fo erhalt man, wenn ihrer m, und alle 
unter einander gleich sind, 
(10) (cos. ö + i sin. ß) m — cos. mö + i sin. in6. 
Zusatz- Setzt man in (10), 6 — z, ß~ — z , so er 
halt man folgende Gleichungen 
(cos. z -j- i sin. z ) m = cos. m z -j- i sin. ni z, 
(cos. z — i sin. z) m — cos, m z — i sin. m z. 
Da der erste Theil einer jeden dieser beiden Gleichungen 
ein Product von m gleichen Factoren ist, so kann er unmittel 
bar durch die Multiplication dieser Factoren, oder, was 
dasselbe ist, durch die Newton'sche Formel entwickelt werden.