139 
in, e 
Werth von x 
mit 
auf 1 redu- 
lteni 
0. 0') 
i sin. (—6)] 
sin. (0—0') 
rhalt man 
i. 0'. 
usdruck 
e beliebige 
n 0 mit m 
; einfachen 
iführen. 
i der Formel 
m, und alle 
in. m 0, 
— 2, so er- 
sin. in z, 
sin. m z. 
Gleichungen 
er unmittel 
oder, was 
ickelt werden. 
Verrichtet man diese Operation, und setzt man in beiden Glei 
chungen 1) die reellen Glieder, 2) die Coefsi'cienten von i, in 
beiden Theilen einander gleich, so ergibt sich: 
m (m—1) 
cos. inz = cos. z in ——— 
1. 2 
m (m—l)(m—2)(m—3) 
_} 1 — t -P cos. z 
^ 1. 2. 3. 4 
- cos.z m “^ 
ra ~ 4 . sin. z 
. sin. z 2 
4 — etc. 
sin. mz 
cos. z 1 
m (m—1) (m—2) 
1. 2.3 
cos. z r 
. sin. z 
3 . sin, z 3 etc 
So erhält man z. B., wenn m = 2 ist, 
cos, 2z = cos. z 2 — sin. z 2 
sin. 2z = 2sin. z . cos. z; 
wenn m = 3 ist, 
cos. 3z — cos, z 3 — 3cos. z sin. z 2 , 
sin. 3z — 3 cos. z 2 sin, z — sin. z 3 , 
etc, 
Lehrsatz 6. Um den imaginären Ausdruck 
cos. 0 + i sin, 0 
auf die (—m)te Potenz zu erheben (wo m eine belie 
bige ganze Zahl bedeutet), darf man nur den Bo 
gen in diesem Ausdrucke mit —- n multipliciern. 
Beweis. Nach der von uns im §. 1. gegebenen Defi 
nition der negativen Potenzen ist nämlich 
(cos. 6 -J- i sin. 6) 
1 
(cos. 6 i sin. ß) m 
\ »IV 
1 
cos. mö + 1 Lin. mö * 
mithin nach (9), 
(13) (cos. B + i sin, 0) —m — cos. mö —i sin. m B. 
oder, was dasselbe ist, 
(14) (cos. B + i sin. 0)~ m — cos. (—mö)+i sin. (—mö). 
Nachdem wir nun die vorzüglichsten Eigenschaften der re- 
ducirten Ausdrücke entwickelt haben, wird es leicht sein, zwei