142 
Beweis. Setzt man im 7 ten Lehrsätze die imaginären 
Ausdrücke alle einander gleich, also 
y (cos. 6 -f- i sin. 6 ) = q' (cos. Ö'+ i sin. 6') 
= q" (cos. B" i sin. 0") = etc. . . . , 
und sind deren m, so ist ihr Product der inten Potenz des er 
sten von ihnen gleich, d. h. 
(cos. 6 + 1 sin. &) m , 
und da in diesem Falle (15) sich in 
(cos, mö -[• i sin. mö) 
verwandelt, so hat man offenbar 
(18) [p (cos.0+ i sin. ö)] m — [cos. m 6 -J- isin. mö]. 
Da aber der reducirte Ausdruck 
cos. mö 's i sin, md 
nach Lehrsatz 5., dem Ausdrucke 
(COS. 0 -J— i sin. 6) m 
gleich ist, so ist der Lehrsatz 9. durch die Formel (18) gegeben. 
Lehrsatz 10. Um einen imaginären Ausdruck 
auf die (—m)te Potenz zu erheben (wo m eine ganze 
Zahl bedeutet), darf man nur die ebensovielste Po 
tenz des Modulus und des reducirten Ausdrucks 
berechnen und beide Potenzen mit einander mul- 
tipliciren. 
eweis. Gesetzt, es sei der imaginäre Ausdruck 
(, (cos. 6 + i sin, ß) 
auf die (—- in )te Potenz zu erheben, so ist 
ln (cos. 6 + i sin. Ö)] m = p—, } . .——; 
^ J [ Q (cos. 0 -j- i sin. Ö)J m 
mithin, nach (17), 
(cos. B 4- i sin, ö)] m = 
cos. mö—isin. mö], 
oder, was dasselbe ist, 
<19) [^ (cos. ö—f-i sin. ö)] —m = q~ m [cos.mö— i sin. mö]. 
Aus dieser Formel (verbunden mit (13)) ergibt sich der 10 te 
Lehrsatz vollständig.