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§. Z. Von den reellen und imaginären Wurzeln der beiden Größen 
-f- 1, — 1/ und von deren gebrochenen Potenzen. 
Es seien m und n Primzahlen unter sich. Macht man 
mm von den im ersten Paragraphen eingeführten Zeichen Ge 
brauch, so werden die n ten Wurzeln der Einheit, oder, was 
1 
dasselbe ist, ihre Potenzen die verschiedenen Werthe von 
«rv = <(i)ss 
sein; desgleichen werden die positiven oder negativen gebrochenen 
, rri m 
Potenzen von 1, vom Grade oder — die verschiedenen 
Werthe von 
■' ((l)) n oder von ((!)) n 
sein. Hieraus ergibt sich: daß man, um diese Wurzeln oder 
Potenzen zu bestimmen, nach einander folgende drei Aufgaben 
zu lösen haben wird. 
Aufgabe 1. Die verschiedenen reellen oder ima- 
1 
ginaren Werthe des Ausdrucks ((l)) n zu finden. 
Auflösung. Es sei x einer von diesen Werthen, und 
wir wollen, um diesen Werth unter eine Form zu bringen, 
welche sowohl den reellen Größen, als auch den imaginären 
Ausdrücken entspricht, 
x = r (cos. t + i sin. t) 
setzen, wo r eine positive Größe, t aber einen reellen Bogen be- 
zeichnet, so ist nach der Definition des Ausdrucks ((l)) n 
(1) x» = 1 
oder, was dasselbe ist, 
r n [cos. nt -J- i sin. nt] = 1; 
woraus, nach §. 2., Lehrst 1., folgt: 
r n = 1 
cos. n t 4- i sin. nt = 1; 
mithin