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und hierauf 
,, . . IN. 2k7I , . . 
(6) ((l))n = cos. + 1 Sin. 
,2k; 
Um aus dieser Formel alle Werthe von ((1)) * abzuleiten, darf 
man nur successive für k alle ganzen Zahlen zwischen 0 und 
substituiren. Es seien ksi k" zwei von diesen Werthen 
und ungleich, so behaupte ich, daß 
IN . 2 k'71 m . 2 k"?r 
cos. und cos, 
n n 
von einander verschieden sein müssen. Denn diese Cosinusse 
könnten nur dann gleich groß sein, wenn zwischen den ihnen 
entsprechenden Bogen eine Gleichung von der Form 
IN. 2 k'71 
4- 2li7r 4- 
m 
2 k"/ 
(wo k eine ganze Zahl bedeutet) stattfände. Aus dieser Glei 
chung ergibt sich 
IN (+ k'+ k") 
Es müßte demnach, da m und n Primzahlen unter sich sind, 
(4-k' + k") durch n theilbar sein, was aber unmöglich ist, 
da die Zahlen k' und k", von welchen keine größer als 4- n 
sein kann, einander nicht gleich sind; ihre Summe oder Diffe 
renz also kleiner als n sein muß. Mithin geben zwei verschie 
dene Werthe von k, welche zwischen den Grenzen 0 und y 
liegen, auch zwei verschiedene Werthe von 
IN . 2 k 7T 
cos, . 
n 
Hieraus ergibt sich denn, daß der durch die Gleichung (6) ge 
gebenen reellen oder imaginären Werthe von ((l)) n eben so 
jL 
viele sind, als der reellen oder imaginären Werthe von ((1))", 
welche durch die Gleichung (3) bestimmt werden. Nun ist aber 
auch offenbar