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mithin
((-i)r =±
1
i
2 T
+
1
2 T
Zusatz' 2. Ist IX ungerade, so sind die verschiedenen
Werthe, welche 2k+ 1 haben kann, respective
1, 3, 5,...., n— 2, n.
Für jeden dieser Werthe erhalt man aus (13) im Allgemeinen
1
zwei gepaarte imaginäre Werthe von ((— 1)) n , d. h. zwei ge
paarte imaginäre n te Wurzeln von — 1; allein für2k-i-1 — n
gibt die Formel einen einzigen und reellen Werth — 1. Wenn
also n ungerade ist, so läßt (( —1))Hußer dem einzigen reellen
Werthe — 1, noch n — 1 imaginäre Werthe zu, welche man
paarweise erhält, und zwar folgende:
71 . . 71 n
cos.— + x sin. —, cos.
IX IX IX
371 . . 371 371
„ icos. + X Sill. , cos.
(15) J n ix ix
1 sin.
etc.
(n-2)7i . . (ix-2)7i (n-2)7i
-j-x Sin
cos.
isxn.
ix n 11 ix
Die Anzahl aller dieser reellen und imaginären Werthe ist n.
Es sei z. B. n — 3, so findet man drei Werthe von
((— 1)) T , d. h. drei Werthe von x, welche der Gleichung
X* = — 1
Genüge leisten, nämlich
- 1,
71 , . . 71
cos. -- + 1 sin. i
71
COS. —
i sin.“
- r + . i,
2
T — 3 T . i,
Zusatz3. Wenn n eine beliebige ganze Zahl bezeichnet, so hat
der Ausdruck ((— l)) n , n theils reelle, theils imaginäre