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Werthe, d. h., die Anzahl der Werthe von x, welche der Glei 
chung x» — — 1 Genüge leisten, ist immer n. 
Aufgübe 5. Die verschiedenen reellen oder ima 
ginären Werthe von ’((— 1)) 11 zu finden. 
Auflösung. Es seien in und n Primzahlen unter sich; 
so hat man, nach der Definition von ((— 1))«’, 
m r _i_n m 
(( — !))“ = L((—l>s n J , 
imb setzt man für ((—l)) n seinen allgemeinen Werth aus 
(13), so findet man 
(16) ((-1)^ 
in (2k-j-l) 7i . . m(2k-f-l)7i 
cos, — !— {- 1 sin. — ——. 
jn 
Um aus dieser Formel alle Werthe von ((— l)) n abzu 
leiten, darf man nur successive für 21*4-1 alle ganzen und 
ungeraden Zahlen zwischen 0 und n setzen. Es seien 2k^-s-1, 
2k"+ 1 zwei dieser Werthe, und zwar ungleiche, so behaupte 
ich, daß 
(2k'-f- 1 )n m . (2k"-j-1)tt 
cos. —, cos. —— 
n n 
nicht einerlei Werth haben können. Da nämlich diese Cosinusse 
nur dann einander gleich sein können, wenn zwischen den ihnen 
correspondirenden Vogen eine Gleichung von der Form 
ni(2kM-1)7E 21^ , m (2k"-{- 1)te 
n — ~ — ix 
stattfindet, wo k eine ganze Zahl bezeichnet; da man ferner 
aus dieser Gleichung erhalt 
+ (2k'+l) : f : (2k"-i-l)‘] 
2 J, 
n 
so müßte, da in und n Primzahlen unter sich sind, die Zahl 
±(2k'+ 1) + (2k"+ 1) 
2 ’ 
durch n theilbar sein; was aber nicht der Fall sein kann, indem