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die Zahlen 2k'+l, 2k"-f-1, von welchen keine größer als n 
sein kann, ungleich sind; so daß also ihre halbe Summe, um 
so mehr ihre halbe Differenz, nothwendig kleiner als n sein muß. 
Für zwei verschiedene Werthe von 2k -j- 1, welche zwischen den 
Grenzen 0 und n liegen, erhält man demnach auch zwei ver 
schiedene Werthe von 
m(2k-f-l)7r 
cos. ; 
n 
woraus sich denn gar leicht ergibt, daß die Anzahl der durch die 
Gleichung (16) gegebenen Werthe von ((—l)) 11 n betragt, 
T _ 1_ 
wie dies auch bei ((1))" und ((— l))~ n der Fall ist. Man 
hat aber auch offenbar 
in (2k 4-1)75 . . . m (2k + 
— + i sin.- 1 
n — ii J 
— cos. m (2k + 1) Tr +-i . sin. m (2k -f- 1) n 
— (—l) m — + lj 
woraus denn folgt, daß jeder Werth von ((— l)) n ein reeller 
oder imaginärer Ausdruck ist, dessen n^ Potenz gleich + 1 ist; 
folglich ist er auch ein Werth von ((1))** oder von ((—l)) n . 
Es ist mithin 
(17) ((-1)F= ((-!»*, 
so oft (—1 ) m = 1 ist, d. h., so oft in eine gerade Zahl ist, und 
(18) ((-l))^ = ((!])“, 
so oft ((— l)) ra =—1, d. h. so oft NI eine ungerade Zahl 
ist. Die Formeln (17) und (18) lassen sich auch in folgende zu 
sammenziehen : 
m i 
(19) (( —!))“=(( Mi“ )) _i . 
Aufgabe 6. Die verschiedenen reellen oder 
imaginären Werthe von (( — 1)) " zu finden.