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der Bogen £, da er zwischen den Grenzen —- -j- ^ liegt, 
beständig einen positiven Cosinus hat, so folgt, daß die Glei 
chungen (14) gelten, wenn « positiv ist; die Gleichungen (15) 
dagegen, wenn « negativ ist. Wir wollen nun sehen, woraus 
sich in diesen beiden Fällen die Formeln (1) und (9) reduciren. 
Ist a positiv, so treten die Gleichungen (14) an die Stelle 
von (10) und ergeben eine unendliche Menge von Werthen 
für 6, unter denen folgender 
(16) e=;c 
zu merken ist. Bedient man sich dieses Werthes, so verwan 
deln sich die Formeln (1) und (4) respective in 
(1?) a -j- ßi — q (cos. £ + i . sin. £), 
(18) ((«-j-/3i‘)) a = £ a (cos. a£ + i . sin. a£) . ((l)) a . 
Ist dagegen a negativ, so treten die Formeln (15) an die 
Stelle von (10), und man erhält unter andern Werthen von 6, 
(19) 6 = £ + 7t. 
Folglich kann man in diesem Falle für die Formeln (1) und 
(9) folgende substituiren 
(20) a + ß i — — Q { cos. i . sin. £) 
( ((« + ß')T 
(21) | = () a [cos. ( a £ + an ) + 1 - sin. (a£-f" a7r )l ((l)) a . 
I = q* (cos. a£-j~i. sin. a^) (cos. an -j- i . sin. a n) ((l)) a . 
Setzt man hier a-\-ßx=—1, d.h. « —— 1, ß—0, so fin 
det man .. / 0 \ . 
— arc. tang. = 0, 
und die Formel (21) geht über in 
(22) ((—l)) a == (cos. 37i -j~ i. sin. an). ((l)) a ; 
woraus denn in dem angenommenen Falle allgemein folgt 
(23) ((« + /?i)) a = 2 a (cos.aC+ i . sin. a£). ((—l)) a . 
Verbindet man die Formeln (25) und (26) des tz. 3. mit den 
Formeln (17), (18), (20) und (23), so ergibt sich Folgendes: 
Es sei a-\-ßi ein beliebiger imaginärer Ausdruck, a ein 
positiver oder negativer Bruch, und k eine beliebige ganze Zahl. 
Setzt man ferner