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z i . sin. z
oder
((cos. z -(- i . sin. z)) 11
irgend eine von den n ten Wurzeln aus dem imaginären Ausdrucke
cos. z -{— i . sin. z.
§. 2. Von den unendlich kleinen imaginären Ausdrücken und von der
Stetigkeit der imaginären Functionen.
Ein veränderlicher imaginärer Ausdruck heißt unendlich
klein, wenn er sich der Grenze Null nähert; was denn aller
dings voraussetzt, daß der reelle Theil und der (Koefficient von
i sich gleichzeitig dieser Grenze nähern. Es sei
a -J- ßi = p ( cos. 0 -j- i . sin. 0),
wo a und ß zwei reelle Größen bedeuten, statt deren man auch
den Modulus () und den reellen Bogen 0 in die Rechnung
einführen kann. Soll dieser Ausdruck unendlich klein sein, so
muß dieses auch bei dem Modulus
e = |/(» s + ß~)
der Fall sein.
Eine imaginäre Function von x heißt eine stetige zwi
schen zwei gegebenen Grenzen der Veränderlichen x, wenn zwi
schen diesen Grenzen einem unendlich kleinen Zuwachse der
Veränderlichen auch stets ein unendlich kleiner Zuwachs der
Function selbst entspricht. Hieraus folgt, daß
V ( x ) + i • / (x)
zwischen zweien gegebenen Grenzen von x stetig sein wird, wenn
dieses bei den reellen Functionen cp (x) und / (x) zwischen
diesen Grenzen der Fall ist. Man sagt: „eine imaginäre Fun
ction der Veränderlichen x ist in der Nähe eines besonderen
Werthes von x stetig, wenn sie es zwischen zwei einander noch
so nahen Grenzen ist, zwischen welche der erwähnte Werth fallt."
Wenn endlich eine imaginäre Function von x in der Nähe
eines besonderen Werthes dieser Veränderlichen stetig zu sein
aufhört, so sagt man: „sie wird discontinui.rlich (unter-
