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ist dann ihre Summe; im entgegengesetzten Falle divergirt 
die Reihe und hat keine Summe. Der erste Fall tritt offen 
bar dann ein, wenn die beiden Summen 
Po + Pi+P2 + *- • + Pu—1, 
<lo + *li + <la-+ • • • + qn-1 
selbst convergiren; der entgegengesetzte Fall dagegen, wenn sie 
nicht convergiren; mit andern Worten, die Reihe (3) wird stets 
zugleich mit (1) und (2) convergiren oder divergiren. Sind 
die beiden letztem oder auch nur eine von ihnen divergirend, so 
ist es die Reihe (3) gleichfalls. In allen nur möglichen Falle i 
heißt dasjenige Glied der Reihe (3), dessen Index n ist, also 
das Glied 
Pu + iqn, 
ihr allgemeines Glied. 
Eine der einfachsten imaginären Reihen ist diejenige, welche 
man erhält, wenn man der Größe x in der geometrischen Pro 
gression 
1, X, x 2 , x 3 ,..., x n , etc..., 
einen imaginären Werth gibt. 
Setzt man z. B. 
X = Z (cos. 0 + i sin. ß), 
wo z eine reelle Veränderliche bedeutet, ß dagegen einen reellen 
Bogen, so verwandelt sich die erwähnte geometrische Progres 
sion in 
1, z (cos.0+ i sin. 6), z 2 (cos. 2ö+isin.2ö), .... 
..., z n (cos,n0-j- i sin.nö), etc... 
Um die Gleichung zu finden, durch welche man die Summe 
der n ersten Glieder dieser Reihe erhält, darf man nur in der 
Formel 
1 + x + x 2 + x’ + ... + x n “l= — JL- 
x = z (cos, ß + i sin. 6) setzen. Man erhalt alsdann 
1-j-z (cos.ö-j-i sin. 6)-j-z 2 (cos, 2ö+i sin. 20) -j- .... 
... + z n—1 (cos. (n—1) ß -J- i sin. (n—1) 6) 
1 z n (cos. nÖ-f- i sin.nö) 
1—z(cos. ß -J- isin, ß) 1—z(cos.0 + i sin. 6)