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§. 3. Bezeichungen einiger imaginären Functionen, welche man durch 
Summirung convergirender Reihen erhält. Eigenschaften dieser 
Functionen. 
Wir wollen die Bezeichnungen 
A x , sin. x, cos. x, Lx ; arc. sin. x, arc. cos. x 
betrachten. 
Setzt man für x einen reellen, Werth, so drücken diese 
sechs Bezeichnungen bekanntlich eben so viele reelle Functionen 
von x aus, von welchen man immer zwei durch entgegenge 
setzte Operationen erhalt, und wo A immer eine Zahl, I- das 
Zeichen der Logarithmen desjenigen Systems bedeutet, dessen 
Basis A ist. Es muß nun aber auch gezeigt werden, was 
diese Functionen bedeuten, wenn x imaginär wird. Wir wollen 
dieses thun und mit den 3 ersten den Anfang machen. — Es 
ist bewiesen worden, daß die Functionen 
A x , sin, x, cos. x 
immer in convergirende und nach den aufsteigenden und ganzen 
Potenzen von x geordnete Reihen entwickelt werden können, 
wenn x reell ist. Man hat in diesem Falle 
A x 
1 -j- 
xlA x 2 (IA) ; 
x\(JA) 
1.2 
(i){cos.x = i ——+ -J72TO' 
1.2.3 
— etc.. 
-j- etc...., 
sin. x = ■- 
1.2.3 
+ etc...,, 
wo 1 das Zeichen der Neper'schen Logarithmen ist. Da ferner 
die erwähnten Reihen nach Lehrs. 1., Zus. 1. des §. 2. für 
alle reellen und imaginären Werthe von x gelten, so ist man 
übereingekommen, die Gleichungen (1) auch auf den Fall aus 
zudehnen, wo x imaginär wird, mit Beibehaltung der sonsti 
gen Bedeutung der Zeichen 
A x , sin. x, cos. x. 
Setzt man in der ersten der Gleichungen (1) A = e, wo e 
die Grundzahl der Neper'schen Logarithmen ist, so erhält man