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Setzt man nun für x seinen Werth und entwickelt 
man die zweiten Theile, so findet man 
ei* _j_ e~ß ei* — e““i* 
(9) 
cos. x; 
sin. x; 
2 
e ß -f- e -ß 
. cos. a ■ 
2 
. sin. ce. i 
. ei* — e _ i* . 
. sin. a + — . cos, « . i 
— cos. — a—ßiy 
Die drei Bezeichnungen 
A x , sin, x, cos. x 
bedeuten also in dem angenommenen Falle so viel als die ima 
ginären Ausdrücke 
A“ [cos. (/?. 1A) -f- i sin. (/?. lA)J f 
ei* -J- e“i* 
1 
ei* + e~i* 
sin. cf -j- 
ei* — e~i* 
I cos. Ck, 
COS. Cf ■ 
(ei* — e“i*) 
2 2 
Setzt man A — e, so ergibt sich aus (7) 
. sin. cs. 
e x = e" (cos. ß 1 sin. /2). 
Es fragt sich nun noch, was unter 
Lx, arc. sin. x, arc. cos. x, 
oder allgemeiner, unter 
L ((x)), arc. sin. ((x)), arc. COS. ((x)) 
zu verstehen ist, wenn x imaginär wird? 
Es sei wiederum 
x — ßi=q (cos. 8 -f- i sin. 6), 
wo a und ß zwei reelle Größen bedeuten, statt deren auch der 
Modulus q und der Bogen 6 eingeführt werden können. Jeder 
imaginäre Ausdruck u+vi, welcher der Gleichung 
(10) A u + vi = a + ßi ■= x 
Genüge leistet, ist ein sogenannter imaginärer Logarith 
mus von x, in dem System, dessen Grundzahl A ist. Da 
die Gleichung (10), wie nachher gezeigt werden wird, mehrere 
Werthe von u + vi liefert, selbst dann, wenn ß = 0 ist, so 
hat jede reelle oder imaginäre Größe mehrere Logarithmen.