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d. h. zwei Resultate von entgegengesetzten Zeichen ergeben, so 
folgt aus Cap. 2., §. 2., Lehrs. 4., daß die Gleichung (1) 
eine oder mehrere Wurzeln hat, welche zwischen diesen Grenzen 
liegen. Hieraus folgt, daß jede Gleichung von einem unge 
raden Grade wenigstens eine reelle Wurzel hat. In der That 
ändert die Gleichung (1) zugleich mit ihrem ersten Gliede a 0 x n 
das Zeichen, wenn man der Veränderlichen x sehr große Zahlen- 
werthe von entgegengesetzten Zeichen beilegt (s. Cap. 2., §. 1., 
Lehrs. 8.). 
Ist n eine gerade Zahl, so bleibt x n so lange positiv, 
als x reell ist, und der erste Theil der Gleichung (1) hat für 
sehr große Werthe von x beständig einerlei Zeichen mit a 0 , 
Haben in diesem Falle a n und a 0 entgegengesetzte Zeichen, so 
ändert der erste Theil der Gleichung offenbar sein Zeichen, 
wenn man auf einen sehr großen Werth von x einen sehr klei 
nen folgen laßt, ohne jedoch das Zeichen zu andern. Die Glei 
chung (1) hat demnach zwei reelle Wurzeln, eine positive und 
eine negative. Ist n eine gerade Zahl, wahrend a n und a 0 
einerlei Zeichen haben, so kann der Fall eintreten, daß der 
erste Theil der Gleichung (1) für alle reellen Werthe von x 
einerlei Zeichen mit a 0 hat und niemals verschwindet. Dieses 
ist z. V. bei den binomischen Gleichungen 
*2 + 1=0, x 4 + 1 = 0, x 6 +1 —0 
der Fall. In einem solchen Falle wird die Gleichung (1) gar 
keine reelle Wurzel haben; man wird ihr indessen Genüge lei 
sten können, wenn man für x einen imaginären Ausdruck 
u 4~ v i 
setzt, wo u, v zwei reelle Größen bedeuten. Dieses und alles 
bisher Gesagte ergibt sich aus folgendem Lehrsätze. 
Lehrsatz 1. Die Gleichung vom n tett Grade 
( 1) a 0 x n + ajX 11-1 + a 2 x n ~ 2 + ... + a n _ lX + a n =0 
hat, unabhängig von allen besonderen reellen oder 
imaginären Werthen der Constanten a 0 , a lf a 2 ,...a n 
immer reelle oder imaginäre Wurzeln.