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«1+/?ii =u 1 +iv x , 
und X—«1—ßi —— x—u t —iv 1 . 
Setzt man dieses Raisonnement weiter fort, so wird siclcherge- 
ben, daß die linearen Factoren der zweiten Theile in den Glei 
chungen (23) absolut dieselben sind. Es verdient noch bemerkt 
zu werden, daß jeder imaginäre Factor von der Form x — u—ß[ ' 
sich kn einen reellen x — a verwandelt, wenn ß — 0 ist. 
Da der erste Theil der Gleichung (1) sich, wie gezeigt 
worden ist, in lineare Factoren nur auf eine Weise zerlegen 
laßt, so kann er nur verschwinden, wenn einer dieser Factoren 
verschwindet. Setzt man daher einen nach dem andern gleich ! 
Null, so erhalt man sämmtliche Werthe von x, welche der 
Gleichung (1) Genüge leisten, d. h. sämmtliche Wurzeln dieser 
Gleichung. Die Anzahl dieser Wurzeln ist, so wie die der 
linearen Factoren, n. Es entspricht ferner jedem reellen Factor 
von der Form x — a eine reelle Wurzel a, und jedem imagi 
nären Factor von der Form x — a—ßi eine imaginäre Wurzel 
a -f- ßi. Diese Bemerkungen führen uns auf folgenden Satz: 
Lehrsatz 3. Die Gleichung 
a 0 xn + a! x 11 “ 1 + a 2 x n ~ 2 + ... -f a n _!x + a n = 0 
(wo die Const anten a 0 ,a 1( a 2 ,...a n beliebige reelle 
oder imaginäre Werthe haben können) hat immer 
n reelle oder imaginäre Wurzeln; kann deren aber 
nicht mehr haben. 
Die Gleichung (1) kann mehrere unter sich gleiche Wur 
zeln haben. In diesem Falle ist die Anzahl der verschiedenen 
Werthe von x, welche der Gleichung Genüge leisten, nothwendig 
kleiner als n. So hat z. B. die Gleichung vom zweiten Grade 
x 2 —2a x -f- a 2 =0 
zwei gleiche Wurzeln, und man wird ihr durch einen einzigen 
Werth von x, nämlich durch 
x = a, 
Genüge leisten können. 
Sind die Constanten a 0 , a^, a 2 ,...a„ alle reell, so 
kann der imaginäre Ausdruck 
«-J- ßi