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1 + « 2 x 0 )
( 4 (u 2 -J- v 2 + w 2 ) = — 2p,
K a +« 2 x 0 )
(14)\ 8uvw = — q,
I 16 (u 2 v 2 4- n 2 w 2 + v 2 w 2 ) = p 2 —4r
»X 1 +ß 2 x 0 )J
setzen. Die Auflösung von (12) ist also auf die simultane
Auflösung der Gleichungen (14) zurückgeführt.
Wir wollen zuvörderst die Werthe von 4u 2 , 4v 2 , 4w 2
xx 2 +a 2 x ü )ä
suchen. Setzt man
(15) 4u 2 = z x , 4v 2 = z 2 , 4w 2 — z 3 ,
enten abgerech-
Werthen gleich
so ist nach (14)
2, +Z 2 + Z 3 — — 2p, Z,Z ä + Z l Z 3 + Z 2 Z =P 2 —4l>
z i Z 2 Z 3 = q 2 ;
mithin, wenn man unter z eine neue Veränderliche versteht,
n Xo, x„ X,
Der erwähnte
1
> von ^.
Gleichung von,
ng des zweiten
(z—zj(z—z 2 )(z—z 3 ) = z 3 + 2pz 2 + (p 2 — 4r)z—q 2 — 0,
und hieraus folgt, daß z lf Zz, Zz die drei Wurzeln der
Gleichung
(16) z3 -J“ 2pz 2 (p 2 —4r)z — q 2 =0
sein werden, und da diese drei Wurzeln der Formel z^z 2 z 3 ^-q 2
Genüge leisten müssen, so wird eine derselben positiv sein, die
en bedeuten. -
Leiden andern hingegen entweder beide zugleich positiv, oder ne
gativ, oder imaginär.
Hat man diese Wurzeln bestimmt, so liefern die beiden
ersten Gleichungen '(15) für jede der Veränderlichen u und v
erhält man
-f- vw),
zwei, vom Zeichen abgesehen, gleiche Werthe. Es seien
u = + U, v = + V
diese reellen oder imaginären Werthe, und W ein reeller oder
v z + V 2 W 2 )
imaginärer Ausdruck, welcher durch die Gleichung
817 VW — — q
4-V 2 +W 2 ) 2
bestimmt wird. Setzt man nun in (14) (2^ Formel)
ii = 4-U, v = + Y,
oder
sein, so bans
•
u = —U, V = — V,
so erhalt man
w = 4- W ,
w = Hh W.