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a n/ a n—11 a n—2 - - a n—m 
lineär ist und für die erste dieser Constanten eine lineäre Fun 
ction aller übrigen geben wird, so folgt, daß in der Reihe 
(10) a 0 , a,x, a 2 x 2 
, a n x n , etc.... , 
vom Gliede a m x m an gerechnet, der Coefstcient irgend einer 
Potenz von x durch eine lineare Function der Coefsicienten der 
m vorhergehenden Potenzen ausgedrückt wird, und daß also die 
Reihe zu denjenigen gehört, welche wir recurrent genannt haben. 
Unter den verschiedenen besondern Formeln, welche man 
aus (3) ableiten kann, verdienen diejenigen besonders gemerkt 
zu werden, welche den beiden Annahmen m = 1 und m = 2 
entsprechen. Man findet im ersten Falle 
und im zweiten Falle 
Die beiden vorstehenden Formeln, von welchen die erste 
die Summe einer geometrischen Progression bestimmt, gelten, 
so wie die Formel (3), so oft der Modulus von x kleiner als 
der von a ist. 
Setzt man in (2) 
A = 1, a = 1 
so erhalt man die Gleichung 
(13) = l + 2x + 3x 2 +4x 3 + etc...., 
v x - 1 -) 
deren zweiter Theil der Summe der Reihe (2), (§. 1.) gleich 
ist, und bei welcher der Modulus von x kleiner als die Ein 
heit sein muß. Wir wollen nun einen beliebigen rationalen 
Bruch 
betrachten. — Es seien a, b, c,... die verschiedenen Wurzeln 
der Gleichung 
(15) 
F (x) = 0,