Die Potenzen der Zahlen und Zahlengrößen haben, wie
sich leicht zeigen läßt, mehrere merkwürdige Eigenschaften, von
welchen wir einige in folgenden Formeln ausgedrückt finden.
Es seien a, a', a",... b, 1/, b"... beliebige positive
oder negative Größen; A, A', A"... beliebige Zahlen, und
m, m' m".,. ganze Zahlen, so ist
l Ad A b ' A b ".. ..= A( b + b '+ b "- •),
(3) Ä b A ,b A" b .... = (A A' A".. ,) b ,
| (A b ) b ' — A b ■ b ';
1 a± m . a± m '. a± m " . . . . — a (± M ± ra '± m ''--) (Eine jede von
den Zahlen in, m', m" muß aber in beiden Theilen der Glei
chung dasselbe Zeichen haben.)
a m . a' m . a" m . . . = (a a' a" .. ,) m ;
a_ m a /_m a "-m . . , — (a a' a" . . . )- m ; >
( a m ) ra ' = == a m ;
( a m )- m ' — (a- m ) m ' = a~ min '.
Die Formeln (3) und (4) führen auf eine Menge anderer, von
welchen wir folgende anzuführen uns begnügen wollen. Man
erhält aus der zweiten Formel von (3)
A*(-L) b =(l)* = t,
woraus sich ergibt:
Wenn man demnach zwei-positive Größen, von denen die
eine das Umgekehrte der andern ist, auf eine und dieselbe Po
tenz erhebt, so ist auch das eine Resultat das Umgekehrte des
andern.
Exponentialgrößcn und Logarithmen.
Sieht man in dem Ausdrucke A x die Zahl A als kon
stant, x hingegen als eine veränderliche Zahlengröße an, so
nennt man die Potenz A x eine Exponentialgröße. Ist
unter gleichen Voraussetzungen für einen besonderen Werth
von x
A x = B,
so nennt man diesen besonderen Werth von x den Logarith-