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e ---- 2,7182318... ist, so ist auch für 
B > B', 
1B > 1B'. 
Wir wollen zu den vorstehenden Lehrsätzen noch folgenden 
hinzufügen, aus welchem sich mehrere wichtige Wahrheiten ab 
leiten lassen. 
Lehrsatz 7. Es sei x eine beliebige von Null 
verschiedene Größe, so ist 
(2) 1 -j- x e x ( 
wo e, wie gewöhnlich, die Grundzah l der natür 
lichen Logarithmen bedeutet. 
Beweis. Da der zweite Theil der Formel (2) immer 
positiv bleibt, so ist unser Satz an sich evident, wenn 1 -j- x 
negativ ist. Wir brauchen also nur noch den Fall zu unter 
suchen, wo 
(3) l + x>Oiji, 
Nun ist aber, nach Cap. 6., §. 4., Gleich. (23), 
(4) 
. . X x~ X J 
1 +.-J- +Y2i > 3 
+ 
+e tc. 
1.2.3.4 ' 1.2.3.4.5 
1 + * + y (i:+1) + 2^ (l + y) + etc...., 
und da die Products 
X 2 f A X\ x 4 / X \ 
t( 1 + 3)' 2ji( 1 + T/' e,c — 
nicht allein dann positiv sind, wenn x positiv ist, sondern auch 
dann, wenn x negativ und kleiner als 1 ist, so folgt, so oft 
der Bedingung (3) Genüge geleistet wird, aus (4) 
6* > 1 + X. 
Zusatz 1. Ist 1 -h x positiv, und nimmt man die na 
türlichen Logarithmen von beiden Theilen der Formel (2), so 
erhalt man nach Lehrs. 6., Zus. 
(5) 1(1 + x)<x; 
eilte Formel, welche immer gilt, wenn ihr erster Theil reell ist. 
Zusatz 2. Es sei 
(6) l + y>0, 1 + z > 0, etc...., 
so ist nach Formel (2) 
1 + x < e x , 1 + y <C , 1 + z < ß z: etc ,