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(2) und (3)
), und nimmt
Werthe als Nä-
en man macht,
nn x zunimmt,
zahl von Glie-
ür die Wurzel
Wurzeln der
i, so gibt die
ar alle, zu er-
für x 2 , X",
i, welche alle
(x) beständig
chen x = x 0
lcher der Glei
ten Wurzeln,
so müssen die
erhält man
Lendet man
rn, so findet
rere zwischen
immer dar-
Utd (3) die
er man kann
Methode he-
meiit k la
Theorie des nombres Gebrauch gemacht hat. Diese zweite
Methode laßt sich unmittelbar aus folgenden beiden Lehrsätzen
ableiten.
Lehrsatz 2. Gesetzt, die Function f (x) sei zwi
schen x = x 0 und x —X stetig; auch sei X>x, und
es seien cp (x), % (x) zwei Hülfsfunctionen, welche
gleichfalls zwischen x = x 0 und x = X stetig blei
ben, aber außerdem 1) zwischen diesen Grenzen
beständig mit x zugleich zunehmen und 2) von der
Art sind, daß die Differenz
(p ( x ) — / ( x )
für x = x 0 neg ativ und, abgesehen vom Zeichen,
beständig gleich f (x) ist. Wenn nun die Gleichung
(1) £ (x) = 0
mehrere zwischen x 0 und X liegende reelle Wur
zeln hat, so bilden die, vermittelst der Formeln
(6) 9>‘(x a )=*^(x,), y(x 3 )==/(x 2 ), etc...
qus einander hergeleiteten, Werthe
(7) Xg, x., x 2 , x 3 , etc....
eine Reihe von zunehmenden Größen, deren all
gemeines Glied sich der kleinsten Wurzel der Glei
chung (1) nähert. Liegt dagegen keine Wurzel' der
Gleichung(l) zwischen x 0 undX, so wird das allge
meine Glied der Reihe (7) zuletzt größer als X.
Beweis. Wir wollen zuvörderst annehmen, daß eine
oder mehrere Wurzeln der Gleichung f (x) — 0 zwischen x Q
und X liegen, und wollen die kleinste unter diesen Wurzeln durch
a bezeichnen, so wird man der Gleichung £ (x) ^ 0, oder,
was dasselbe ist, der Gleichung
(1) P ( x ) — / ( x ) " 0
Genüge leisten, wenn man x — a setzt, und es ist demnach
(8) (p (a) — / (a).
Da ferner / (x) von x — x^ bis x — X beständig mit x
zugleich wächst, und btt a > x 0 ist, so ist auch
X ( a ) > X ( x o)-
Verbindet man die beiden letzten Formeln mit der ersten von
den Gleichungen (6), also mit
X ( x o) = <P ( X l),
so erhalt man
<P (») > (p ( x t),
mithin
(9) a > Xj.
