336 
Reihen ziemlich weit fortsetzen, ehe man bemerkte, daß die Gren 
zen, welchen sie sich wirklich nähern, von einander verschieden 
find. Dieselbe Bemerkung laßt sich auch in Beziehung auf 
die Reihen (2) und (3) machen. Man kann mithin vermit 
telst der Auflösungsmethoden, welche sich allein auf den ersten 
Lehrsatz, oder auf die Lehrsätze (2) und (3) gründen, nicht in 
allen Fallen die Anzahl der reellen Wurzeln einer numerischen 
Gleichung finden; aber man erhalt durch dieselben denn doch 
immer einen beliebig nahen Werth für jede reelle Wurzel, welche 
allein zwischen zwei gegebenen Grenzen liegt. — Hat die vor 
gelegte numerische Gleichung zum ersten Theile eine reelle und ganze 
Function von x, so laßt sich, wie Lagrange gezeigt hat, 
immer die Anzahl der reellen Wurzeln bestimmen; so wie auch 
deren Werthe in diesem Falle naherungsweise gefunden werden 
können. Um diesen Zweck leichter zu erreichen, wird man die 
vorgelegte Gleichung zuvörderst auf eine andere reduciren, welche 
nur ungleiche Wurzeln hat; wobei man auf folgende Weise 
verfahrt. 
Es sei 
(27) F (x = 0 
die vorgelegte Gleichung; ihre verschiedenen reellen oder imagi 
nären Wurzeln seien a, b, o,..., und m der Grad, von wel 
chem ihr erster Theil ist; auch nehmen wir an, daß der Coef 
ficient der höchsten Potenz von x auf 1 reducirt sei. Endlich 
sei m' die Anzahl der Wurzeln, welche gleich a sind, m" die 
der Wurzeln, welche gleich b sind, m'" die der Wurzeln, welche 
gleich c sind, etc...., so ist 
(28) m'-f- -f-... = m, 
(29) F (x) = (x—a)* 11 '. (x—b) m " . (x—c) m "'.... 
Hieraus folgt, daß, wenn z eine neue Unbekannte ist, 
ist. Setzt man nun 
(31) F(x+z) =F(x) + zF, (x)-J-z 2 F s (x)-j- 
und entwickelt man die Ausdrücke 
nach den aufsteigenden Potenzen von r, so verwandelt sich die 
Gleichung (30) in