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Multiplicirt man die erste Gleichung mit cos. mt, die zweite
mit sin. int, und addirt die Resultate, so erhält man
r m + A r m—1 . cos. t + A 2 r m ~ 2 . cos.21 + ........
+ A m _! . r cos. (m—1) t + A m cos.lnt —0.
Nun ist aber klar, daß man bei dieser Gleichung nicht r. > k
setzen darf, weil sonst der Zahlenwerth von größer als die
Summe der Zahlenwerthe von
(42)
A 2 i
m~2
• t -Ai
sein würde, und um so mehr größer als die Zahlenwerthe, welche
diese Glieder erhalten, wenn man dieselben durch Cosinusse
multiplicirt.
Anmerkung 3. Vergleicht man die ersten Theile der
Gleichungen (2?) und (40) mit dem Polynom (26), so kann
man leicht darthun, daß, wenn g eine Zahl ist, welche kleiner
als die einzige positive Wurzel der Gleichung (22) ist, g nicht
nur eine untere Grenze für die Zahlenwerthe aller reellen
Wurzeln von (27) sein muß, sondern auch für die Mo-,
duli aller imaginären Wurzeln. Dies ist z. B. der Fall, wenn
g der kleinste unter den Ausdrücken (25), oder die größte
ganze Zahl ist, welche, für x in (26) subftituirt, ein ne
gatives Resultat gibt. Ist die Zahl g auf diese Weise be
stimmt, so werden alle positiven Wurzeln von (27) zwischen
den Grenzen
+ g/ + k /
die negativen hingegen zwischen den Grenzen
~~ k ' — g
siegen.
Anmerkung 4. Sucht man nur eine untere oder obere
Grenze der positiven Wurzeln, so kann man dieselbe oft nach
Lehrst 17, Zust in der vorhergehenden Note erhalten. Denn
gesetzt, die Glieder des Polynoms F (x) hätten, mit Aus
nahme eines einzigen, alle einerlei Zeichen, so laßt sich die
Gleichung (27) unter die Form
ix m -s-A,xm-i +...+A s _ 1 x m - s + 1 +A s+ ix m ~ s — 1 _j_...
+ Ain-ix+ Ä m —A s x m ~ s
bringen. Es sei nun n die Anzahl der Glieder des ersten
Theils von (43), welche sich nicht auf Null reduciren, und
Bx"
das geometrische Mittel zwischen diesen Gliedern, B also das
(43)