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x ra -f- A t x« 1 “ 1 + — Ä s x ra “ s — A s+ 1 x« 1 " 5 ' 1 — . . . 
A u x ra - U + Au+ix 1 ^- 1 ^...—A v x ra - v —Av+ix" 1 -^ 1 —... 
+ A w * m ~ w + A w+ i x m ~ w -i +... + A m = 0, 
verwandelt, so folgt aus vorstehenden Betrachtungen, daß jeder 
positive Werth von x, welcher der Gleichung (27) Genüge 
leisten soll, 1) kleiner sein muß, als die größte positive Wurzel 
der Gleichungen 
x^-j-A, xM-i-f... — A s x m ~ s — A s+ ix-n-r-i —0, 
A u x ra - U +A u+ ± x m -u-l+...—A v x m ' v —Av+ix™-^ 1 —...= 0, 
etc , 
2) größer als die kleinste dieser Wurzeln, wenn Am mit dem 
Zeichen — behaftet ist; im entgegengesetzten Falle dagegen grö 
ßer als die kleinste positive Wurzel der Gleichungen von der 
Form 
—As x m -8 — A s+I x m - S -1—....+A u v m - U +A u+1 x m -u-i-f ...=0, 
—A v x ra - V —-Ay+ix 111 ^- 1 —...4-A w x in - w +Aw+ix ra - w - 1 +.,.=0 
etc 
Zuweilen schließen die beiden so eben angegebenen Bedingungen 
einander gegenseitig aus, und alsdann hat die Gleichung (27) 
gar keine positive Wurzel. 
Aufgabe 2. Die Anzahl der reellen Wurzeln 
der Gleichung (27) nebst einer Reihe von Größen 
zu finden, welche, paarweise genommen, al s Gren 
zen dieser Wurzeln angesehen werden können. 
Auflösung. Wir wollen annehmen, die Gleichung (27) 
sei so weit reducirt, daß sie keine gleichen Wurzeln mehr hat. 
Ist nun k eine obere Grenze für die Zahlenwerthe aller reellen 
Wurzeln, h hingegen kleiner als die kleinste Differenz zwischen 
diesen Wurzeln, endlich k t , k,,..., k^ andere, und zwar so 
gewählte Zahlen, daß in der Reihe 
(46) k, — kj, k 2 ,..., k n , 0, k n ,..., k 2 ,k A , k 
die Differenz zwischen jedem Gliede und dem vorhergehenden 
immer eine positive Größe ist, welche gleich oder größer als h 
ist, so ist es klar, daß zwischen zweien auf einander folgenden 
Gliedern der Reihe (46) nie mehr als eine reelle Wurzel lie 
gen kann. Nun aber erhalt man Resultate mit entgegenge 
setzten Zeichen, wenn man in F (x) für x zwei Größen sub 
stituier, zwischen welchen eine einzige reelle Wurzel liegt; das 
Zeichen bleibt dagegen dasselbe, wenn keine Wurzel zwischen jene 
beiden Größen fallt. Betrachtet man daher die Glieder der