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Reihe (46) als successive Näherungswerthe von x, und berech
net man die Reihe der diesen Gliedern correspondirenden Werthe
für das Polynom F (x), so enthält diese Reihe genau so viele
Abwechselungen der Zeichen, al sdie Gleichung (27) reelle Wurzeln
hat, und jede dieser Wurzeln liegt zwischen zweien, auf einan
der folgenden Werthen von x, welche, in F (x) substituirt,
Resultate mit entgegengesetzten Zeichen geben. Die einzige
Schwierigkeit bei dieser Rechnung besteht'also darin: einen pas
senden Werth für x zu finden. Diesey erhalt man aber auf
folgende Weise.
Es sei H der Zahlenwerth des letzten Gliedes der Glei
chung in 2, welche das Resultat der Elimination von x aus
den Formeln (37) ist. Die Zahl H wird, wie schon bemerkt
worden ist (abgesehen vom Zeichen), dem Producte der Qua
drate der Differenzen zwischen den Wurzeln der Gleichung (27)
gleich sein. Folglich ist H T dem Producte der Moduli ihrer
Differenzen gleich'(der Modulus jeder reellpn Differenz ist aber
nichts anderes, als deren Zahlenwerth). Es seien nun a, b
zwei verschiedene Wurzeln der Gleichung (27). Sind diese
beiden Wurzeln reell, so ist der Zahlenwerth einer jeden von
beiden kleiner als k, mithin kann der Zahlenwerth ihrer
Differenz, d. h. die Differenz oder die Summe ihrer Zahlen-
werthe, niemals größer als 2 k sein. Sind die beiden Wurzeln
hingegen, oder auch -nur eine von ihnen imaginär, so kann
man, wenn i,, r 2 ihre Moduli, und t lt zwei reelle Bo^
gen bedeuten,
a = r, (cos. t, + isin. ¡t,)
b = v 2 (cos. t 3 -j- i sin. t 2 )
setzen und erhält alsdann
a — b=sr, cos. tj — r 2 cos. t 2 -f~ (r, sin. —r s sin. t 2 ). i,
mod.(a—b)— £(r 1 cos rf t 1 — r 2 cos.t 2 ) 2 +(r 1 sin.t l —r 2 sin. t 2 ) a Jf
~ [ r i 2 2r l r 2 cos.(t i —t 2 )-j-r 2 2 J^ <(r, 2 + 2r, v 2 -j-r 2 a )* ‘
Es ist demnach
nio6. (a — b)<^r, -j-r 2 ;
mithin
(47) mod; ( a —-b) 2 k,
vorausgesetzt, daß man die Zahl k so gewählt hat, wie in der
ersten Aufgabe, d. h. so, daß sie nicht nur größer ist als die
Zahlenwerthe aller .reellen Wurzeln, sondern auch größer als die
