m (31) y + z für 2, und entwickelt man den ersten Theil 
der also modisicirten Formel nach den aufsteigenden Potenzen 
von y, so erhält man 
F (x+ z) -J- y F, (x-j- z) 4- etc 
= F(x) + (y + z) Fj (x) + (y + z) a F 2 (x) + etc...; 
setzt man ferner die Coefsicienten von y auf beiden Seiten des 
Gleichheitszeichens einander gleich, 
(60) \ F 1 (x + z) = 
|F 1 (x)4-2zF 2 (x) + 3z 3 F 3 (x) -f- 4z 3 F*(x)-J- etc.... 
Folglich verwandelt sich die Reihenentwickelung von 
(61) F t (§ + z) 
in 
(62) F t (9 + 2zF 2 (?) + 3z 2 F 3 (?) + 4z 3 F*(tz) + etc...., 
und da in dem Polynom (56) der Zahlenwerth des ersten 
Gliedes die Summe der Zahlenwerthe aller übrigen Glieder 
übersteigt, so wird dies um so mehr bei dem Polynom (62) 
der Fall sein, so lange 2 < 2« ist. Hieraus folgt, daß in 
diesem Falle der Ausdruck (61) nicht verschwinden kann. Die 
Gleichung (59) hat demnach keine zwischen?' — 2 « und ?' -j- 2« 
liegende Wurzel, und deshalb kann auch die Gleichung (27) 
nur eine einzige zwischen diesen Grenzen liegende Wurzel haben. 
Diese Wurzel ist nothwendigerweise diejenige, welche der Größe 
£ am nächsten liegt, und welche wir durch a bezeichnet haben. 
Da ferner der Bruch 
F (?+2«) 
a 
dem zweiten Polynom in (58) gleich ist und mit dem ersten 
Gliede dieses Polynoms einerlei Zeichen hat, d. h. mit 
F,(|) = -liü, 
so folgt, daß 
F (?) und F (?-f-2a) 
zwei Größen mit entgegengesetzten Zeichen sind, und daß die 
Wurzel a zwischen den noch engeren Grenzen 
?, ? + 2« 
liegen muß. 
Was den zweiten Theil des obigen Satzes betrifft, so folgt 
dieser unmittelbar aus Anmerkung 2, indem die Größe G of 
fenbar, abgesehen vom Zeichen,' kleiner als das Polynom (62),