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i ersten Theil 
>den Potenzen 
x) -s- etc...; 
m Seiten des 
(x)-f- etc.... 
£) ■+• etc. 
th des ersten 
eigen Glieder 
'olynom (62) 
folgt, daß in 
i kann. Die 
x und § + 2« 
Eichung (27) 
Vurzel haben, 
he der Größe 
chnet haben. 
lit dem ersten 
mit 
und daß die 
trifft, so folgt 
Größe G of- 
»lynom (62), 
d. h. kleiner als die Neihenentwickelung von F x ($-{-z) ist, 
auch wenn der Zahlenwerth von z gleich oder kleiner als der 
Zahlenwerth von 2a, also auch kleiner als die Größe F, (a) 
ist, welche man aus F, (g+z) erhält, wenn man 
z = a — I 
setzt. Aus diesem zweiten Theile des Satzes folgt ferner, daß 
die reellen Wurzeln, welche größer als a sind, auch größer als 
die Grenze 
(63) -> + (2k)'»- 2 
sind, und daß die reellen Wurzeln, welche 
auch kleiner als die Grenze 
(64) 
G 
(2k) m ~* 
kleiner als a sind, 
sein müssen. 
Aufgabe 3. Beliebig nahe Werthe für die reel 
len Wurzeln der Gleichung (27) zu finden.. 
Auflösung. Zuvörderst wird man, mit Hülfe dev vori 
gen Aufgabe, für jede reelle und positive Wurzel zwei Grenzen 
suchen, zwischen welchen sie liegen muß. Es seien nun z. B.’ 
x 0 , X die Grenzen der reellen und positiven Wurzel a; so 
wird man sowohl die positiven, als auch die negativen Glieder 
von F (x) unter sich addiren. Diejenige von beiden Sum- 
men, welche für x = x 0 die kleinere ist, wird für x = X die- 
größere werden. Diese Summe sei nun «p (x), die andere-: 
y (x); so werden die beiden ganzen Functionen y (x), ^(x) 
diejenigen Eigenschaften haben, von welchen im zweiten und 
dritten Lehrsätze die Rede war. Wenn demnach die Function 
P(x) von der Art ist, daß sich die Gleichungen von der Fornr 
y (x) = Constante 
leicht auflösen lassen, so liefern die Formeln (6) und (15) un 
mittelbar die Näherungswerthe von a. Dies ist z. B. jedesmal' 
der Fall, wenn die Function y (x) von der Form 
B (x-f C) n + D 
ist, wo B, C, D beliebige ganze Zahlen sind, rmd n eine 
ganze Zahl, welche gleich oder kleiner als m ist; denn alsdann 
erhält man 'successive die Glieder der Reihen (7) und (16) 
durch Ausziehung der n ten Wurzel. Ist die Function y (x) 
nicht von dieser Form, so läßt sie sich leicht auf dieselbe zurück 
führen, indem man zu beiden Theilen der Gleichung