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!P (*) = / <x>
nur ein ganzes Polynom i// (x), welches nur aus positiven
Gliedern besteht, zu addiren braucht. Es ist in der That ein
leuchtend, daß die durch die Addition eines solchen Polynoms
modisicirten Werthe von rp (x) und -5 (x) immer noch den
selben Bedingungen Genüge leisten. Das Polynom ifj (x) kann
übrigens unendlich viele Werthe haben. Es sei z. B.
q> (x) — x 3 -j-3x a 4"S/
so ist der durch die Addition von ip (x) modisicirte Werth
desselben
(x + l) 3 +7,
wenn man
setzt; oder
ijj (x) = 3x
(x + 2) 3 ,
wenn man
1/, (x) ---- 3x2 + 12X
setzt, etc Es verdient übrigens noch bemerkt zu werden:
1) daß man immer ip (x) so wählen kann, daß L — 1 wird;
2) daß in vielen Fallen sich eine von den Zahlen C, D auf
Null reduciren wird. Nachdem wir nach der vorstehenden Me
thode die reellen und positiven Wurzeln der Gleichung (27) be
stimmt haben, werden wir noch nach derselben Methode die po
sitiven Wurzeln der Gleichung
(65) F (— x) = 0
zu suchen haben, um auch die negativen Wurzeln von (27)
zu erhalten.
Anmerkung. Es gibt außer der eben mitgetheilten
Nüherungsmethode noch viele andere, unter welchen die New-
ton'sche herausgehoben zu werden verdient. Sie setzt voraus,
daß man bereits einen Naherungswerth der gesuchten Wurzel
kenne, und besteht darin, daß man als Verbesserung dieses
Werthes die durch die Gleichung
,55, IM.
(55) “ - F, (ä)
gegebene Große « betrachtet. Da jedoch diese Methode nicht
immer anwendbar ist, so ist es der Mühe werth, zu unter
suchen: in welchen Fallen man dieselbe anwenden kann. Wir
stellen deshalb folgende Sätze auf.