Die Anzahl der Decimalstellen, welche genau sind, wird also 
bei jeder neuert Operation wenigstens sich verdoppeln. 
Die vorstehenden Untersuchungen liefern mehrere Auflösungs 
methoden für numerische Gleichungen. Um die Vorzüge dieser 
Methoden fühlbarer zu machen, wollen wir sie auf die Glei 
chungen 
(90) x 3 —2x — 5 = 0 und 
(91) x 3 —7x + 7 = 0 
anwenden, welche Lagrange (Auflösung der numerischen Glei 
chungen, Cap. 4.) als Beispiele gewählt hat, und welche schon 
früher durch Newton behandelt worden sind. 
Betrachten wir zuvörderst (90), so finden wir (Lehrs. 3., 
Anm. 2.), daß sie eine einzige positive Wurzel hat, welche 
zwischen 
j/J72 = 2 und j/i.5 = 2, 15.... 
liegt. Ferner entspricht der positive Werth von x, welcher der 
Gleichung 
2x -j- 5 = x 3 
Genüge leisten wird (Aufg. 1, Anm. 4.), der Bedingung 
2 p/5.2x < x 3 , 
oder, was dasselbe ist, der Bedingung 
x>(40) i =2,09.... 
Die Wurzel, von welcher die Rede ist, liegt also zwischen den 
Grenzen 2,09 und 2,15..., so daß also 2,1 ein bis auf ein 
Zehntel genauer Naherungswerth von a sein wird. Um einen 
genaueren Werth zu erhalten, darf man nur bemerken, daß im 
vorliegenden Falle 
F (x) — 
x 3 — 2x—5, F x (x)=3x 2 —2, F 2 (x) = 3x, F 3 (x)=1 
ist, und daß, wenn man 
§ --- 2,1 
setzt, die im vierten Lehrsätze angegebene Bedingung erfüllt wird. 
Da nun nach Gleichung (55) 
ß = = — 0,005431878... 
OS —~ o 
ist, so erhalt man als näheren Werth von x 
tz4- « = 2,094568121..., 
und