beweis. Um dm ersten Theil dieses Lehrsatzes zu be 
weisen, bemerke ich, daß, wenn man die negativen Wurzeln der 
Gleichung (114) durch h, h', h"... bezeichnet, das Polynom 
F (x) durch das Product 
(x + h) (x + L') (x + h")... 
theilbar sein muß. Der Quotient sei Q. Nach dem Zusatze 
des vorigen Lehrsatzes ist das Maximum der Abwechselungen in 
F (x) gleich oder kleiner als das Maximum der Abwechselungen 
im Polynom Q, folglich gleich oder kleiner als der Grad des 
letzteren Polynoms. Es ist demnach das Minimum der Folgen 
in F (x) gleich oder größer als die Differenz zwischen der Zahl 
in und dem Grade des Polynoms Q, d. h. gleich oder größer 
als die Anzahl der reellen und negativen Wurzeln von 
(114) F (x) = 0. 
Um den zweiten Theil des siebenten Lehrsatzes zu bewei 
sen, braucht man nur in (114), — x für x zu setzen, so 
werden die positiven Wurzeln zu negativen, und die Abwech 
selungen der Zeichen zu Folgen, und umgekehrt. 
Da die Gleichung F (x), wenn sie vom m ten Grade ist, 
m reelle oder imaginäre Wurzeln haben muß, so ist es klar, 
daß der dritte Theil des Satzes eine bloße Folge der beiden 
anderen ist. 
Zusatz. Um den vorstehenden Lehrsatz auf ein Beispiel 
anzuwenden, wollen wir die Gleichung 
(115) x“+l=0 
betrachten. — Man findet hier, 1) wenn m eine gerade Zahl ist, 
ra' — 0, in" — Oz 
2) wenn m eine ungerade Zahl ist, 
m' = 1, m" == 0. 
Mithin hat die Gleichung (115) im ersten Falle gar keine reelle 
Wurzel und kann im zweiten Falle nur eine einzige negative 
haben.