383 
Ordnung und Anzahl man dieselben immer nehmen mag, für 
unendlich große Werthe von in und n unendlich klein wird, so 
ist es klar, daß die Summe s n ^ m \ und alle diejenigen, welche 
man daraus herleiten kann, indem man zu s n ( m ) einige von 
den im Tafelchen (2) nicht vorkommenden Gliedern addirt, sich 
einer bestimmten Grenze s nahem wird, wenn in und n be 
ständig zunehmen. In diesem Falle wird die Reihe (1) con- 
vergiren, und die Grenze 8 wird ihre Summe sein. Im ent 
gegengesetzten Falle wird die Reihe (1) bivergiren und keine 
Summe haben. 
Wenn die Summe von beliebig vielen der im Tafelchen 
(2) nicht vorkommenden Glieder für unendlich große Werthe 
von in und n unendlich klein ist, so gilt dies um so mehr von 
denjenigen unter diesen Gliedern, welche zu einer oder zu meh 
reren Horizontal- oder Verticalreiheu im Tafelchen (1) gehören; 
und hieraus folgt unmittelbar, daß, wenn die in diesem Tafel 
chen enthaltene doppelte Reihe convergirt, dies auch bei den ein 
zelnen Horizontal- und Verticalreiheu der Fall sein muß. Wir 
wollen daher das Resultat, welches man erhalt, wenn man die 
Summen der ersten m Horizontalreihen von (1) addirt, d. h. 
die ersten rn Glieder der einfachen Reihe 
(3) rio + u i + u 2 + etc -/ u, o + u/ i + u % +etc., 
u "o + u "i +u" a -Jretc., 
etc ., 
durch 
g(w) 
bezeichnen; das Resultat hingegen, welches man erhalt, wenn 
man die Summen der ersten n Verticalreihen addirt, d h. 
die ersten n Glieder der einfachen Reihe 
(4) u 0 + u' 0 + u" 0 4- etc,, u, u', -f u", + etc., 
u 2 -f- u' 2 + u w 2 -j- etc,, 
etc. 
so ist offenbar die Grenze des Ausdrucks für be 
ständig zunehmende Werthe von n, und 8^ die Grenze dessel 
ben Ausdrucks für beständig zunehmende Werthe von m. Mit 
hin darf man nur m in s( m ), und n in s n beständig zuneh 
men lassen, so nahem sich s< m ) und s n der Grenze s. Hier 
aus ergibt sich folgender Satz.