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Beweis- Um zu dem vorhergehenden Satze zu gelangen, 
ist es hinreichend, sich zu überzeugen, daß die Curve, deren 
Gleichung 
Y — £ (x) 
ist, der geraden Linie, welche zur Gleichung 
y = b 
hat, in demjenigen Theile ihres Laufes, welcher zwischen die den 
Abscissen x 0 und X entsprechenden Ordinate» fallt, ein- oder 
mehreremale begegnen (sie schneiden) muß, was übrigens unter 
der gemachten Voraussetzung offenbar der Fall sein wird. Da 
nämlich die Function f (x) zwischen x 0 und X stetig ist, so 
wird die Curve, welche y — s (x) zur Gleichung hat und 
Istens durch den den Coordinaten x D und f (x D ), 2tens aber 
auch durch den den Coordinaten X und 5 (X) entsprechenden 
Punct geht, zwischen diesen beiden Puncten stetig sein, und da 
die konstante Ordinate b der geraden Linie, deren Gleichung 
y = b ist, zwischen den Ordinalen der beiden Puncte, welche 
wir betrachten, also zwischen 5 (x G ) und f (X) fallt, so wird 
die gerade Linie zwischen diesen beiden Puncten hindurchgehen, 
was sie nicht kann, ohne die oben erwähnte Curve zu schneiden. 
Man kann übrigens, wie in der dritten Note geschieht, den 
vierten Lehrsatz auf eine directe und rein analytische Art beweisen, 
welche sogar den Vortheil hat, daß sie auf die numerische Auf 
lösung der Gleichung f (x) ==. b führt. 
§. 3. Besonders merkwürdige Werthe der Functionen in einzelnen 
Fällen. 
Wenn eine Function von einer oder von mehreren Verän 
derlichen, für ein System von Werthen, welche diesen Verän 
derlichen beigelegt werden, nur einen einzigen Werth zuläßt, so 
kann dieser eine Werth gewöhnlich schon aus der bloßen Defi 
nition der Function abgeleitet werden. Tritt ein besonderer Fall 
ein, in welchem sich nicht mehr unmittelbar auf diese Art der 
Werth ergiebt, auf welchen es abgesehen ist, so sucht man die 
Grenze oder die Grenzen, welchen sich diese Function nähert, 
sobald sich die Veränderlichen gewissen besonderen, ihnen beige-