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(eine jede mit beliebigem Zeichen genommen). Dieses Product 
ist, wie leicht zu ersehen, selbst eine alternirende Function der 
Veränderlichen, welche wir betrachten. Um dieses zu beweisen, 
darf nur gezeigt werden, daß dieses Product sein Zeichen verän 
dert, davon abgesehen aber denselben Werth behalt, wenn zwei 
unter den Veränderlichen, z. B. x und 7, mit einander ver 
tauscht werden. Uebrigens ist dieses Product, wenn 
(2) (y—«) (*—x) ... (U—x) (v—x) (z-y)... (u—y) (v—y)...(v—u) 
— (p gesetzt wird, 
entweder gleich + cp oder gleich — P, je nachdem man einer 
jeden Differenz das Zeichen -s- oder — gibt. Nun ist es aber 
einleuchtend, daß dieser Werth von cp nur in Folge der gegen 
seitigen Vertauschung der Veränderlichen x und 7 sein Zeichen 
ändert; dies wird also auch bei einer Function, welche entweder 
dem + <p oder dem — (p gleich ist, der Fall sein müssen. 
Um die Sache noch deutlicher zu machen, wollen wir an 
nehmen, eine jede der Differenzen (1) habe das Zeichen +. 
Das Product aller Differenzen wird alsdann die durch die Glei 
chung (2) bestimmte Function cp sein, oder die mit jener iden 
tische Gleichung 
(3) (p — (y—x) (z—X) (Z—y)... (V—x) (v—y) (v—z) ... (v—u). 
Es sei überdies n die Anzahl der Veränderlichen X, 7, z... 
u, v; so wird n — 1 offenbar die Anzahl der Differenzen sein, 
welche eine und dieselbe Veränderliche enthalten: mithin wird in 
jedem Gliede der entwickelten und unter die Form eines Poly 
noms gebrachten Function cp, der Exponent einer beliebigen 
Veränderlichen die Zahl n — 1 nicht übersteigen können. Da 
endlich in jedem Gliede die verschiedenen Veränderlichen mit ver 
schiedenen Exponenten behaftet sein müssen, so ist es einleuch 
tend, daß diese verschiedenen Exponenten respective den Zahlen 
0, 1, 2, 3, .... n— 1, 
gleich sein müssen. Jedes Glied wird also, abgesehen vom Zei 
chen und von seinem Zahlcncoefsicienten, dem Products der ver 
schiedenen, in irgend einer Ordnung neben einander geschriebenen 
und respective auf die Potenzen 0, 1, 2, 3, ...n — 1, (d. h. 
auf diejenigen Potenzen, deren Exponenten diese Zahlen sind),