Wie Leibniz die Diskontiemngsformel begründete.
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Die übliche Lösung dieser Aufgabe besteht darin, daß man
k i +
P
ioo
K==k,
IOO
(K-k 1 ) = k 8
IOO
(K—k,—k 2
(36)
setzt, woraus
k 2 = k x r, k 3 = kjj 2 usw.
folgt, und daß man ferner durch Einsetzung dieser Werte für k 2 , k 3 usw. in
die Gleichung
k x —j— k 2 —|— k 3 —(— . , . = K
(37)
zunächst k t
und dann aus der Beziehung
a :== k ^ —[— (r — 1) 1L
(38)
a bestimmt.
Es ergiebt sich
a — ( r ') r ° K
r n — I
(39)
und
k 1 = —.
1 j-n
(40)
Es kann leicht gezeigt werden, daß der Barwert aller Abzahlungen
(Zinsen einbegriffen) gleich K ist. Der Barwert jeder am Schluß des m ten Jahres
zahlbaren Summe a ist nach Formel (25)
m P u
a iv m
100
oder
a—m(r— i)k m
und als Barwert aller n Abzahlungen erhält man
na—(r— 1) (k 1 —(— 2 k 2 —|— 3 k 3 —)—
oder auch
. , , r n —1
na h- k. nr n
1 ' r—1
dann, auf Grund von (40), in
a / r u —1
nr"
r ü \ r— 1
und schließlich, auf Grund von (39), in
K
+ n kn !
na— (r — i)k 1 (i —|— 2r —j— 3r 2 ~j - . . . + nr 11-3 ).
Letztere Formel geht in
über.